Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 8 đầy đủ. Ở các lớp dưới, học sinh đã được làm quen với phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Lên lớp 8, học sinh sẽ được học đầy đủ nhất về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tài liệu bao gồm các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đầy đủ nhất, kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết nhất.
Phiếu bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối
Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.
+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.
+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.
+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ: Giải bất phương trình | 4x | = 3x + 1
+ Với x ≥ 0 ta có | 4x | = 4x
Khi đó phương trình trở thành 4x = 3x + 1
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho
+ Với x < 0 ta có | 4x | = – 4x
Khi đó phương trình trở thành – 4x = 3x + 1
⇔ – 4x – 3x = 1 ⇔ – 4x = 1 ⇔ x = – 1/7.
Giá trị x = – 1/7 thỏa mãn điều kiện x < 0, nên – 1/7 là một nghiệm cần tìm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { – 1/7;1 }
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
I.Kiến thức cần nhớ
1. Giá trị tuyệtđối
*Quy tắc ở trên có nội dung thường được nhớ là “ phải cùng, trái khác” tức là bên phải
nghiệm x0thì f[x] cùng dấu với a,bên trái nghiệm x0thì f[x] khác dấu với a.
II.Giải mộtsốphươngtrìnhchứadấugiátrịtuyệtđối
1. Phươngphápchung
Bước1:Ápdụngđịnhnghĩagiá trịtuyệtđối đểloạibỏdấugiátrịtuyệt đối
Bước2:Giảicácbấtphươngtrìnhkhôngcódấugiátrịtuyệtđối
Bước3:Chọn nghiệmthíchhợptrongtừngtrườnghợpđangxétBước4:Kếtluậnnghiệm
2. Mộtsốdạngcơbản
Dạng | A | = | B |⇔A = B hay A = - B.
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.
+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.
+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.
+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ:Giải bất phương trình | 4x | = 3x + 1
Hướng dẫn:
Ta có | 4x | = 3x + 1
+ Với x ≥ 0 ta có | 4x | = 4x
Khi đó phương trình trở thành 4x = 3x + 1
⇔ 4x - 3x = 1⇔x = 1.
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho
+ Với x < 0 ta có | 4x | = - 4x
Khi đó phương trình trở thành - 4x = 3x + 1
⇔- 4x - 3x = 1⇔- 4x = 1⇔x = - 1/7.
Giátrịx=-1/7thỏamãnđiềukiện x0.
b] A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.
c] A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4
Hướng dẫn:
a] Với x > 0⇒| 5x | = 5x
Khiđótacó:A=3x+2+|5x|=3x+2+5x=8x+2 VậyA=8x+2.
b] Ta có: x < 0⇒| 4x | = - 4x
Khiđótacó:A=|4x|-2x+12=-4x-2x+12=12-6x VậyA=12-6x.
c] Ta có: x < 4⇒| x - 4 | = 4 - x
Khiđótacó:A=|x-4|-x+1=4-x-x+1=5-2x.VậyA=5-2x
Bài 2:Giải các phương trình sau:
a] | 2x | = x - 6
b] | - 5x | - 16 = 3x
c] | 4x | = 2x + 12
d] | x + 3 | = 3x - 1
Hướng dẫn:
a] Ta có: | 2x | = x - 6
+Vớix≥0,phương trìnhtươngđương:2x=x-6⇔x=-6. Khôngthỏamãnđiềukiện x≥0.
+ Vớix 0, ∀x < x0 như bảng sau:
* Cách nhớ: Để ý bên phải nghiệm x0 thì f[x] cùng dấu với a, bên trái nghiệm x0 thì f[x] khác dấu với a, nên cách nhớ là: "Phải cùng, Trái khác"
II. Các dạng toán phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
° Dạng 1: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P[x]| = k
* Phương pháp giải:
• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P[x]| = k, [trong đó P[x] là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước] ta làm như sau:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức [trị tuyệt đối của mọi số đều không âm].
- Nếu k = 0 thì ta có |P[x]| = 0 ⇔ P[x] = 0
- Nếu k > 0 thì ta có:
* Ví dụ: Giải phương trình sau:
a]
° Lời giải:
a]
•TH1:
•TH2:
- Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 17/8 và x = 7/8.
b]
• TH1:
• TH2:
- Kết luận: Có 2 giá trị của x thỏa điều kiện là x = 1 hoặc x = 3/4.
* Ví dụ 2: Giải và biện luận theo m phương trình |2 - 3x| = 2m - 6. [*]
° Lời giải:
- Nếu 2m - 6 < 0 ⇒ m < 3 thì pt [*] vô nghiệm
- Nếu 2m - 6 = 0 ⇒ m = 3 thì pt [*] trở thành
|2 - 3x| = 0 ⇔ 2 - 3x = 0 ⇔ x = 2/3. [Phương trình có nghiệm duy nhất].
- Nếu 2m - 6 > 0 ⇒ m > 3 thì pt [*]
[Phương trình có 2 nghiệm]
• Kết luận: m = 0 pt[*] vô nghiệm
m = 3 pt[*] có nghiệm duy nhất x =2/3
m > 3 pt[*] có 2 nghiệm x = [8-2m]/3 và x = [2m-4]/3.
° Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P[x]| = |Q[x]|
* Phương pháp giải:
• Để tìm x trong bài toán dạng dạng |P[x]| = |Q[x]|, [trong đó P[x] và Q[x]là biểu thức chứa x] ta vận dụng tính chất sau:
* Ví dụ: Tìm x biết:
a]|5x - 4| = |x + 4|
b]|7x - 1| - |5x + 1| = 0
* Lời giải:
a]|5x - 4| = |x + 4|
- Vậy x = 2 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán
b]|7x - 1| - |5x + 1| = 0 ⇔ |7x - 1| = |5x + 1|
- Vậy x = 1 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán.
° Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P[x]| = Q[x]
* Phương pháp giải:
• Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |P[x]| = Q[x] [*], [trong đó P[x] và Q[x]là biểu thức chứa x] ta thực hiện 1 trong 2 cách sau:
* Cách giải 1:
* Cách giải 2:
* Ví dụ 1 [Bài 36 trang 51 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các phương trình:
a] |2x| = x - 6. b] |-3x| = x - 8
c] |4x| = 2x + 12. d] |-5x| - 16 = 3x
° Lời giải:
a] |2x| = x – 6 [1]
* Sử dụng cách giải 1:
- Ta có: |2x| = 2x khi x ≥ 0
|2x| = -2x khi x < 0.
- Với x ≥ 0 phương trình [1] ⇔ 2x = x – 6 ⇔ x = -6
Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của [1]
- Với x < 0 phương trình [1] ⇔ -2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.
Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của [1].
+ Kết luận: Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
* Sử dụng cách giải 2:
- Ta có: x - 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6.
- Ta thấy x = -6 và x = 2 đều không thỏa điều kiện x ≥ 6 nên pt[1] vô nghiệm.
- Kết luận: Phương trình vô nghiệm
b] |-3x| = x – 8 [2]
- Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.
|-3x| = -[-3x] = 3x khi -3x < 0 ⇔ x > 0.
- Với x ≤ 0 phương trình [2] ⇔ -3x = x – 8 ⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2
Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của [2].
- Với x > 0 Phương trình [2] ⇔ 3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.
Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của [2].
- Kết luận: Phương trình [2] vô nghiệm.
c] |4x| = 2x + 12 [3]
- Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
|4x| = -4x khi 4x < 0 ⇔ x < 0.
- Với x ≥ 0 phương trình [3] ⇔ 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.
Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của [3]
- Với x < 0 phương trình [3] ⇔ -4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của [3].
- Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2.
d] |-5x| - 16 = 3x [4]
- Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.
|-5x| = -[-5x] = 5x khi -5x < 0 ⇔ x > 0.
- Với x ≤ 0 phương trình [4] ⇔ -5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16 ⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của [4].
- Với x > 0 phương trình [4] ⇔ 5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8
Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của [4].
- Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nghiệm x = -2 và x = 8.
* Ví dụ 2 [Bài 37 trang 51 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các phương trình:
a] |x - 7| = 2x + 3. b] |x + 4| = 2x - 5
c] |x+ 3| = 3x - 1. d] |x - 4| + 3x = 5
° Lời giải:
a] |x – 7| = 2x + 3 [1]
- Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7.
|x – 7| = -[x – 7] = 7 – x khi x – 7 < 0 ⇔ x < 7.
- Với x ≥ 7 phương trình [1] ⇔ x – 7 = 2x + 3 ⇔ x = -10.
Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của [1].
- Với x < 7 phương trình [1] ⇔ 7 – x = 2x + 3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = 4/3
Giá trị x = 4/3 thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của [1]
- Kết luận: Phương trình [1] có một nghiệm x = 4/3.
b] |x + 4| = 2x – 5 [2]
- Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4.
|x + 4| = -[x + 4] = -x – 4 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4.
- Với x ≥ -4 phương trình [2] ⇔ x + 4 = 2x – 5 ⇔ x = 9
Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của [2].
- Với x < -4 phương trình [2] ⇔ –x – 4 = 2x – 5 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3
Giá trị x = 1/3 không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của [2]
- Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 9.
c] |x + 3| = 3x – 1 [3]
- Ta có : |x + 3| = x + 3 khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3.
|x + 3| = -[x + 3] = -x – 3 khi x + 3 < 0 ⇔ x < -3.
- Với x ≥ -3 phương trình [3] ⇔ x + 3 = 3x – 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2.
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3 nên là nghiệm của phương trình [3].
- Với x < -3 thì phương trình [3] ⇔ -x – 3 = 3x – 1 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2.
Giá trị x = -1/2 không thỏa mãn điều kiện x < -3 nên không phải nghiệm của [3].
- Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 2.
d] |x – 4| + 3x = 5 [4]
- Ta có: |x - 4| = x – 4 nếu x ≥ 4
|x- 4| = -[x – 4] = 4 - x nếu x - 4 < 0 ⇔ x < 4
- Với x ≥ 4 phương trình [4] ⇔ x - 4 + 3x = 5 ⇔ 4x = 9 ⇔ x = 9/4
x = 9/4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 nên không là nghiệm của phương trình [4].
- Với x < 4 Phương trình [4] ⇔ 4 – x + 3x = 5 ⇔ 4 + 2x = 5 ⇔ 2x = 1 ⇔ x=1/2.
x = 1/2 thỏa mãn điều kiện x < 4 nên x = 1/2 là nghiệm của [4].
- Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x=1/2.
° Dạng 4: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A[x]| + |B[x]| = C[x]
* Phương pháp giải:
• Để giải phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A[x]| + |B[x]| = C[x] [*], [trong đó A[x], B[x] và C[x]là biểu thức chứa x] ta thực hiện như sau:
- Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối
- Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu GTTĐ
- Căn cứ bảng xét dấu, chia từng khoảng để giải phương trình [sau khi giải được nghiệm đối chiếu nghiệm với điều kiện tương ứng].
* Ví dụ: Giải phương trình: |x + 1| + |x - 3| = 2x - 1
° Lời giải:
- Ta có: |x + 1| = x + 1 nếu x ≥ 1
|x + 1| = -[x + 1] nếu x < 1
- Tương tự: |x - 3| = x - 3 nếu x ≥ 3
|x - 3| = -[x - 3] nếu x < 3
- Từ đó ta có bảng sau:
-TH1: Nếu x < -1 thì phương trình [2] trở thành:
-x - 1 - x + 3 = 2x - 1 ⇔ x = 3/4 [không thỏa mãn đk x < -1]
-TH2: Nếu -1 ≤ x ≤ 3 thì phương trình [2] trở thành:
x + 1 - x + 3 = 2x - 1 ⇔ x = 5/2 [thỏa điều kiện -1 ≤ x ≤ 3]
-TH3: Nếu x > 3 thì phương trình [2] trở thành:
x + 1 + x - 3 = 2x - 1 ⇔ 0x = 1 [vô nghiệm]
- Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 5/2.
° Dạng 5: Phương trình có nhiều biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A[x]| + |B[x]| = |A[x] + B[x]|
* Phương pháp giải:
• Để giải pt trị tuyết đối dạng |A[x]| + |B[x]| = |A[x] + B[x]| ta dựa vào tính chất:
|A[x] + B[x]| ≤ |A[x]| + |B[x]| nên phương trình tương đương với điều kiện đẳng thức A[x].B[x] ≥ 0.
* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: |x + 5| + |3 - x| = 8
° Lời giải:
- Ta có: 8 = |x + 5 + 3 - x| ≤ |x + 5| + |3 - x|, ∀x ∈ R.
- Nên |x + 5| + |3 - x| = 8 ⇔ [x + 5][3 - x] ≥ 0.
- Ta có bảng xét dấu sau:
- Từ bảng xét dấu, ta có: [x + 5][3 - x] ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 3.
- Vậy bất pt có tập nghiệm là: S = {x ∈ R| -5 ≤ x ≤ 3} hoặc có thể viết S = [-5;3].
* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: |5x + 1| + |3 - 2x| = |4 + 3x|
° Lời giải:
- Ta có: |4 + 3x| = |5x + 1 + 3 - 2x| ≤ |5x + 1| + |3 - 2x|. Nên
|5x + 1| + |3 - 2x| = |4 + 3x| ⇔ [5x + 1][3 - 2x] ≥ 0.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu, ta có: [5x + 1][3 - 2x] ≥ 0
- Vậy tập nghiệm của bất pt là:
III. Một số bài tập về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
* Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối sau:
1] |-4x| = x + 2
2] |2 - x| = 2 - 3x
3] 2x - |6x - 7| = -x + 8
4]
5] |x2 - 2x| = x
6] |x2 + 4x - 5| = x2 - 1
7]
8]
9]
10] |2x + 1| = |x - 1|
11] |1 + 4x| - |7x - 2| = 0
12] |2x2 + 5x - 10| = 2x2 + 1
13] |x - 2| + |x - 3| = 1
14] |2x + 3| - |x| + x - 1 = 0
15] |x + 1| - 2|x - 1| = x
* Đáp số:
1] S = {-2/5;2/3};
2] S = {0};
3] S = ∅;
4] S = {1/8};
5] S = {0; 1; 3};
6] S = {-3; 1};
7] S = {2};
8] S = {-4/3;4};
9] S = {-4};
10] S = {-2; 0}
11] S = {1/11; 1};
12] S = {-9/4; 1; 11/5};
13] S = [2;3];
14] S = {-1/2};
15] S = {1/2;3/2}.
Hy vọng với bài viết Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.