Quan hệ tương đương , Trong toán học , khái quát hóa ý tưởng về sự bằng nhau giữa các phần tử của một tập hợp . Tất cả các quan hệ tương đương [ví dụ, được ký hiệu bằng dấu bằng] tuân theo ba điều kiện: tính phản xạ [mọi phần tử đều có quan hệ với chính nó], tính đối xứng [phần tử A có cùng quan hệ với phần tử B mà B có với A] và tính nhạy cảm [ xem luật bắc cầu ]. Tính đồng dạng của tam giác là một quan hệ tương đương trong hình học. Các thành viên của một tập hợp được cho là trong cùng một lớp tương đương nếu chúng có quan hệ tương đương.
Trong toán học, quan hệ là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp, ví dụ như các quan hệ bằng, nhỏ hơn, lớn hơn, đồng dư giữa các số, hay các quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa các hình tam giác. Tất cả các ví dụ này đều là các quan hệ hai ngôi.
Quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
={ [a,1], [a, 2], [b, 2], [c, 2]}.
Để biểu diễn quan hệ [trên các tập hữu hạn], nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị
Cho tập A có m phần tử
và tập B có n phần tử
Ma trận logic của quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
⊂
{\displaystyle \subset }
A x B là ma trận cấp m
×
{\displaystyle \times }
n với các phần tử r i,j xác định như sau:
Ví dụ ma trận biểu diễn quan hệ
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
ở trên là
Ma trận logic của quan hệ hai ngôi
Quan hệ n ngôi
Một quan hệ n {\displaystyle n} ngôi giữa các tập hợp A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}} là một tập hợp con của tích Descartes A 1 × ⋯ × A n {\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}} .
Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là một quan hệ trên tập A:
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất phản xạ nếu ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} : a R a {\displaystyle a{\mathcal {R}}a} [2]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất đối xứng nếu ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \forall a,b\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} thì b R a {\displaystyle b{\mathcal {R}}a} [2]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất phản đối xứng nếu ∀ a , b ∈ A {\displaystyle \forall a,b\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b R a {\displaystyle b{\mathcal {R}}a} thì a = b {\displaystyle a=b} [3]
- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là quan hệ có tính chất bắc cầu nếu ∀ a , b , c ∈ A {\displaystyle \forall a,b,c\in A} :nếu a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b R c {\displaystyle b{\mathcal {R}}c} thì a R c {\displaystyle a{\mathcal {R}}c} [2]
Quan hệ tương đương
Bài chi tiết: Quan hệ tương đương
Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.[2]
Cho R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là quan hệ tương đương trên tập A và phần tử a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Tập con của A gồm các phần tử b có quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} với a được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu là [ a ] R {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}} [4].
Cho a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} và quan hệ tương đương R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Khi đó
- [ a ] R ≠ ∅ {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset } , [ b ] R ≠ ∅ {\displaystyle {[b]}_{\mathcal {R}}\neq \emptyset }
- hoặc [ a ] R ∩ [ b ] R = ∅ {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}\cap {[b]}_{\mathcal {R}}=\emptyset } ,hoặc [ a ] R = [ b ] R {\displaystyle {[a]}_{\mathcal {R}}={[b]}_{\mathcal {R}}} .
Từ đó tập các lớp tương đương của R {\displaystyle {\mathcal {R}}} tạo thành một phân hoạch [hay một sự chia lớp] của tập A.[5]
Một ví dụ minh hoạ cho quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư theo môđun m trên tập hợp các số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } [m là số tự nhiên lớn hơn 1], mỗi lớp tương đương là tập các số nguyên có cùng số dư theo môđun m. Trong số học nó còn được gọi là các lớp thặng dư theo môdun m.
Quan hệ thứ tự
Bài chi tiết: Tập hợp sắp thứ tự một phần
- Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự trên A nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.[3]
- Sau đây ta dùng ký hiệu ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } để chỉ một quan hệ thứ tự trong trường hợp tổng quát.
- Quan hệ thứ tự ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập A nếu với hai phần tử bất kỳ a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} một trong hai quan hệ a ⊑ b {\displaystyle a\sqsubseteq b} hoặc b ⊑ a {\displaystyle b\sqsubseteq a} sẽ xảy ra. Trong trường hợp ngược lại nó được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Khi đó, tương ứng ta nói tập A được sắp thứ tự toàn phần/bộ phận. Khi không muốn nói vào chi tiết ta đơn giản gọi chúng là tập được sắp. Các quan hệ "≤" và "≥" trên tập số thực là quan hệ thứ tự toàn phần. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên, quan hệ bao hàm trên các tập hợp là các quan hệ thứ tự bộ phận.
Các phần tử đặc biệt trong tập được sắp
Xem thêm: Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu
Xem thêm: Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất
Xem thêm: Infimum và supremum
Xem thêm: Cận trên đúng
- Trong tập A được sắp theo quan hệ ⊑ {\displaystyle \sqsubseteq } , một phần tử m được gọi là nhỏ nhất nếu m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} với mọi a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Ví dụ như phần tử nhỏ nhất của tập các số tự nhiên dương là 1, phần tử nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm trên các tập hợp là tập rỗng, theo quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên phần tử nhỏ nhất là số 1.
- Cho S là tập con của tập được sắp A theo quan hệ m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} . Phần tử m [nếu có] được gọi là infimum của S, ký hiệu là inf[S] hay ^S, nếu m ⊑ a {\displaystyle m\sqsubseteq a} với mọi a ∈ S {\displaystyle a\in S} và nếu ∀ a ∈ S : n ⊑ a {\displaystyle \forall a\in S:n\sqsubseteq a} thì n ⊑ m {\displaystyle n\sqsubseteq m} .
- Nếu S= {a, b} ⊂ A {\displaystyle \subset A} thì inf[{x,y}] được ký hiệu là x^y. Trong quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên, x^y chính là ƯCNN[x,y], còn theo quan hệ bao hàm giữa các tập hợp, A^B chính là tập A ∩ B {\displaystyle A\cap B} .
- Khái niệm tương tự theo chiều ngược lại là khái niệm supremum, ký hiệu là sub[S]
Cho quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập A vào tập B và quan hệ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} từ B vào C. Quan hệ tích [ R S ] {\displaystyle [{\mathcal {RS}}]} là quan hệ từ A vào C, xác định bởi a [ R S ] c {\displaystyle a[{\mathcal {RS}}]c} khi và chỉ khi tồn tại b ∈ B {\displaystyle b\in B} sao cho a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} và b S c {\displaystyle b{\mathcal {S}}c}
Tính chất của quan hệ bắc cầu
Bài chi tiết: Quan hệ bắc cầu
- Quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là quan hệ có tính chất bắc cầu khi và chỉ khi
- Quan hệ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} nhỏ nhất có tính chất bắc cầu chứa quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} được gọi là bao đóng bắc cầu [một số người gọi là bao đóng truyền ứng] của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} ký hiệu là [ R ] {\displaystyle [{\mathcal {R}}]} .
- Nếu tập A hữu hạn gồm n phần tử thì
Ta có thể biểu diễn quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A ∩ B {\displaystyle \cap B} = ∅ {\displaystyle \emptyset } thì đồ thị biểu diễn R {\displaystyle {\mathcal {R}}} là đồ thị hai phía.
Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và 5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.
Biểu diễn đồ thị của quan hệ |
|
Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} và biểu diễn ánh xạ, có thể nhận ra rằng ánh xạ [hay hàm] là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hàm.
Ánh xạ f : A → {\displaystyle \to } B là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau: Mỗi phần tử a ∈ {\displaystyle \in } A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b ∈ {\displaystyle \in } B.Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai [hoặc nhiều hơn] phần tử của A cùng có quan hệ f với một phần tử b ∈ B {\displaystyle b\in B}
Trong phạm trù các quan hệ Rel, một quan hệ cũng là một cấu xạ giữa các tập hợp.
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 1, tr.23
- ^ a b c d Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 2, tr. 24
- ^ a b Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 6, tr. 26
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 3, tr. 25
- ^ Hoàng Xuân Sính [1972], Định nghĩa 4 và Định lí 1, tr. 25
- Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương [tái bản lần thứ tám], Nhà xuất bản giáo dục
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Quan_hệ_[toán_học]&oldid=68885698”