Sơ đồ phương trình đường thẳng lớp 10

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa : 

vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]

Nhận xét :

- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u} [ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\] , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u}  = [u_1; u_2]\] làm vectơ chỉ phương là :

\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\]

-Khi \[u_1≠ 0\] thì tỉ số \[k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:

\[y – y_0 = k[x – x_0]\]

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\]  ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]

Nhận xét:

- Nếu \[\vec{n}\]  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì k\[\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu \[a = 0 => y = \dfrac{-c}{b};  ∆ // Ox\] hoặc trùng Ox [khi c=0]

+ Nếu \[b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\] hoặc trùng Oy [khi c=0]

+ Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\] đi qua gốc tọa độ

+ Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[A[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \[∆\] :

\[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\]

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆1 và ∆2 

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0

Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]] là điểm chung của  ∆1 và ∆2  khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:

[1]  \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\] 

Ta có các trường hợp sau:

a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2

c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 \[ \equiv \]∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.

Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

Nếu ∆1 vuông góc với  ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng  900.

Trường hợp  ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆1 và ∆2 bằng 00.

Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  900  

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]

Cho hai đường thẳng:

∆1: a1x+b1y + c1 = 0 

∆2: a2x+b2y + c2 = 0

Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]

\[\cos  \varphi\] = \[\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]

Chú ý:

+ \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\] \[ \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\]

+ Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì  

\[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} =  - 1\]

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c=0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]].

Khoảng cách từ điểm \[M_0\] đến đường thẳng \[∆\] kí hiệu là \[d[M_0,∆]\], được tính bởi công thức

\[d[M_0,∆]=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]

Loigiaihay.com

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Quảng cáo

+ Vectơ n→ ≠ 0→ gọi là vectơ pháp tuyến [VTPT] của ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét : Nếu n→ là VTPT của ∆ thì k.n→[k ≠ 0] cũng là VTPT của ∆.

+ Trong mặt phẳng tọa độ; mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

    ax + by + c = 0 với a2 + b2 > 0.

+ Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

    - Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.

    - Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy.

    - Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ.

+ Đường thẳng có phương trình:

= 1 [ a ≠ 0; b ≠ 0] đi qua hai điểm A[a; 0] và B[0; b]

Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

+ Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c= 0

   Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên được đưa về dạng: y= kx + m [ *]

   Khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ và [ *] gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc.

Quảng cáo

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng : ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 = a2x + b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

[I]

Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :

∆1 cắt ∆2 ⇔

∆1 song song ∆2 ⇔

∆1 trùng ∆2 ⇔

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u→ ≠ 0→ được gọi là vectơ chỉ phương [VTCP] của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét : Nếu u→ là VTCP của ∆ thì k.u→[ k ≠0] cũng là VTCP của ∆.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 [x0; y0] và u→[ a; b] là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

[ 1]

Hệ [ 1] được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, với tham số t.

Quảng cáo

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 [x0; y0] và u→[a;b] [với a ≠ 0, b ≠ 0 ] là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

[2]

Phương trình [ 2] được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

4. Liên hệ giữa VTCP và VTPT

VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu ∆ có VTCP u→[ a; b] thì n→[ b; -a] là một VTPT của ∆.

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M[x0; y0] đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

    d[M0, ∆] =

6. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M[xM; yM]; N[xN; yN] không nằm trên ∆. Khi đó:

    + Hai điểm M và N cùng phía so với ∆ khi và chỉ khi:

       [ axM + byM + c].[ axN + byN + c] > 0.

    + Hai điểm M và N khác phía so với ∆ khi và chỉ khi:

       [ axM + byM + c].[axN + byN + c] < 0.

7. Góc giữa hai đường thẳng.

+ Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng là 00.

Kí hiệu: [a;b]

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:

   [a; b] = [ u→; v→] nếu [ u→; v→] ≤ 900

    [a; b] = 1800 - [ u→; v→] nếu [ u→; v→] > 900

    Trong đó; u→ và v→ lần lượt là VTCP của a và b.

+ Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có VTPT n1→ = [a1; b1] và n2→ = [a2; b2] được tính theo công thức:

cos[Δ1, Δ2] = cos[n1→, n2→] =

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp