VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp AUB để giải toán, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp AUB để giải toán:
Phương pháp biểu đồ Ven: Sử dụng các hình tròn giao nhau để mô tả các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng. Biểu đồ Ven cho ta cách nhìn trực quan và mối quan hệ giữa các đại lượng từ đó tìm ra các yếu tố
chưa biết. Công thức số phần tử AUB = |A| + |B| – |AnB|.
BÀI TẬP DẠNG 3: Ví dụ 1. Trong năm vừa qua, trường THPT A có 25 bạn thi học sinh giỏi 2 môn Văn và Toán. Trong đó có 14 bạn thi Toán và 16 bạn thi Văn. Hỏi trường có bao nhiêu bạn thi cả 2 môn Văn và Toán. Cách 1: Sử dụng Sơ đồ Ven như hình vẽ. Ta thấy Số bạn thi toán mà không thi văn là 25 – 16 = 9 [bạn]. Số bạn thi cả 2 môn [ phần giao nhau] là 14 – 9 = 5 [bạn]. Cách 2: Gọi A, B lần lượt là tập hợp các bạn thi học sinh giỏi Toán và
Văn. Ta có A = 14, |B| = 16, AUB = 25. Theo công thức ta có AnB = |A| + |B| – |AUB| = 14 + 16 – 25 = 5 [bạn].
Ví dụ 2. Lớp 10A có 15 bạn thích môn Văn, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích văn hoặc toán có 8 bạn thích cả 2 môn. Trong lớp vẫn còn 10 bạn không thích môn nào trong 2 môn Văn và Toán. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn. Ta sử dụng Sơ đồ Ven để giải bài toán. Hình tròn to thể hiện số học sinh cả lớp. Như vậy, ta có: Số bạn chỉ thích Văn là 15 – 8 = 7[bạn]. Số bạn chỉ thích Toán
là 20 – 8 = 12[bạn]. Số học sinh cả lớp là tổng các phần không giao nhau: 7 + 8 + 12 + 10 = 37.
Ví dụ 3. Mỗi học sinh của lớp 10A đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả 2 môn thể thao. Hỏi lớp 10A có bao nhiều học sinh. Ngoài Sơ đồ Ven ta có thể dùng công thức số phần tử. Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá, B là tập các học sinh chơi bóng chuyền. Do đó A B là tập các học sinh chơi cả hai môn. Ta có |A| = 25, |B|
= 20, |AnB| = 10. Số học sinh cả lớp là số phần tử của tập AUB. Theo công thức ta có AUB = 25 + 20 – 10 = 35 [học sinh].
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Một lớp có 40 học sinh, mỗi học sinh đều đăng ký chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao là bóng đá hoặc cầu lông. Có 30 học sinh có đăng ký môn bóng đá, 25 học sinh có đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả 2 môn. Số học sinh đăng ký cả hai môn là 30 + 25 – 40 = 15 [học sinh]. Bài 2. Ở xứ sở của thần Thoại ngoài các vị thần thì còn có
các sinh vật gồm 27 con người, 311 con yêu quái một mắt, 205 con yêu quái tóc rắn và yêu quái vừa một mắt vừa tóc rắn. Tìm số yêu quái vừa một mắt vừa tóc rắn biết có tổng số sinh vật là 500 con.
Bài 3. Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, trong đó có 7 bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi. a] Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết muốn được khen thưởng thì hoặc học sinh giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. b] Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa
được xét học lực giỏi và hạnh kiểm tốt. Bài 4. Một lớp có 25 học sinh khá các môn tự nhiên, 24 học sinh khá các môn xã hội, 10 học sinh khá cả 2 và 3 học sinh không khá môn nào.
a] Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá tự nhiên. b] Lớp có bao nhiêu học sinh chỉ khá xã hội. c] Lớp có bao nhiêu hoặc khá tự nhiên hoặc khá xã hội. d] Lớp có bao nhiêu em học sinh. Bài 5. Lớp 10A có 35 bạn học sinh làm kiểm tra toán. Đề bài gồm 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô giáo tổng hợp kết quả như sau: có 20 em
giải được bài toán thứ nhất; 14 em giải được bài toán 2; 10 em giải được bài toán 3; 5 em giải được bài toán 2 và bài toán 3; 2 em giải được bài toán 1 và bài toán 2; 6 em giải được bài toán 1 và bài toán 3, chỉ có 1 học sinh đạt được điểm 10 vì giải được cả 3 bài. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài nào.
Sơ đồ Venn là gì? [còn được gọi là biểu đồ Venn hoặc sơ đồ tập hợp] - Là phương pháp thể hiện một cách trực quan mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán và nhờ đó giúp chúng ta tìm những đại lượng chưa biết một cách dễ dàng. Vậy như thế nào là biểu đồ ven? Cách vận dụng biểu đồ ven như thế nào? Mời các bạn cùng xem qua bài viết dưới đây để cùng nhau tìm câu trả lời nhé.
1. Biểu đồ Ven là gì?
Biểu diễn tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu bằng bởi một chấm trong vòng tròn kín, còn phần tử không thuộc tập hợp biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng tròn kín [biểu diễn như hình 1]. Cách biễu diễn tập hợp như trên gọi là biểu đồ Ven.
2. Phương pháp biểu đồ Ven
Sử dụng các đường tròn giao nhau để mô tả các đại lượng và biểu diễn mối quan hệ tương quan giữa chúng.
Ví dụ:
Mối quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B được biểu diễn dưới dạng Biểu đồ Ven như hình 2.
3. Bài tập vận dụng biểu đồ Ven lớp 6
Bài 1: Trong năm học vừa qua trường Lê Thánh Tông có 35 bạn thi học sinh giỏi cấp Quận hai môn Toán và Tiếng Việt. Trong số đó có 20 học sinh thi môn Toán và 20 học sinh thi môn Tiếng Việt. Hỏi trường có bao nhiêu bạn thi cả hai môn?
ĐÁP ÁNBài toán được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ven như hình 3 bên dưới:
Hai đường tròn biểu diễn cho tập hợp những bạn học sinh thi môn Toán và môn Tiếng Việt. Và phần giao nhau giữa hai đường tròn biểu diễn những bạn thi cả hai môn này. Nhìn vào hình vẽ trên, ta nhận thấy rằng :
Số học sinh chỉ thi môn Toán mà không thi Tiếng Việt là:
35 - 20 = 15 [học sinh]
Số học sinh thi cả hai môn là:
20 - 15 = 5 [học sinh]
Đáp số: 5 học sinh
Bài 2: Tất cả các học sinh lớp 6A3 đều đăng ký chơi đá bóng hoặc cờ tướng. Số học sinh đăng ký chơi đá bóng là 30 bạn và số học sinh đăng ký cờ tướng là 15 bạn. Hỏi số học sinh của lớp 6A3 nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
ĐÁP ÁNBài toán được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ven như hình 4 bên dưới:
Hai đường tròn biểu diễn cho tập hợp những bạn đăng ký chơi đá bóng và cờ tướng. Và phần giao nhau giữa hai đường tròn biểu diễn những bạn đăng ký cả hai môn này. Gọi x là số bạn học sinh đăng ký cả hai môn đá bóng và cờ tướng [phần giao của hai đường tròn].
Từ hình vẽ trên ta thấy rằng:
Tổng số học sinh của lớp 6A3 là:
30+15 - x = 45 - x [học sinh]
Vậy tổng số học sinh lớp 6A3 lớn nhất khi x phải có giá trị nhỏ nhất, tức là số học sinh đăng ký cả hai môn đá bóng và cơ tướng là nhỏ nhất. Từ đây, ta suy ra x = 0.
Số học sinh lớp 6A3 nhiều nhất có thể là:
45 - x = 45 - 0 = 45 [học sinh]
Đáp số: 45 học sinh
Bài 3: Lớp 6A4 có 20 bạn thích chơi cầu lông, 18 bạn thích bóng bàn. Trong số các bạn thích cầu lông hoặc bóng bàn có 11 bạn thích cả hai cầu lông và bóng bàn. Trong lớp vẫn còn có 12 bạn không thích chơi môn thể thao nào [trong hai môn cầu lông và bóng bàn]. Hỏi lớp 6A4 có bao nhiêu bạn tất cả?
ĐÁP ÁNBài toán được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ven như hình 5 bên dưới:
Tập hợp các bạn thích chơi cầu lông và bóng bàn được biểu diễn bơi các đường tròn như hình vẽ. Phần giao của hai đường tròn biểu diễn những bạn học sinh thích chơi cả hai môn là 11 bạn. Đường tròn lớn bao ngoài biểu tất cả các học sinh của lớp 6A4, trong đó, những bạn không thuộc đường tròn cầu lông và bóng bàn là 12 bạn, đây là những bạn không thích chơi môn thể thao nào.
Từ hình vẽ trên ta thấy rằng:
Số bạn học sinh chỉ thích chơi cầu lông là:
18 - 11 = 7 [bạn]
Số bạn học sinh chỉ thích chơi bóng bàn là:
20 - 11 = 9 [bạn]
Tổng số học sinh của lớp 6A4 bằng tổng số phần không giao nhau:
7 + 9 + 11 + 12 = 39 [bạn]
Đáp số: 39 [bạn]
Bài 4: Lớp 6A5 có 40 học sinh đăng ký các môn thể thao cho kỳ hè. Gồm ba môn đá bóng, cầu lông và bóng bàn. Sau khi đăng ký, thầy giáo tổng hợp được kết quả như sau: Có 22 bạn đăng ký môn bóng đá, 15 đăng ký môn cầu lông, 12 bàn đăng ký môn bóng bàn, 5 bạn đăng ký cả bóng đá và cầu lông, 2 bạn đăng ký cả cầu lông và bóng bàn, 6 bạn đăng ký bóng bàn và bóng đá, chỉ có duy nhất 1 bạn đăng ký cả ba môn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không đăng ký môn thể thao nào?
ĐÁP ÁNBài toán được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ven như hình 6 bên dưới:
Ba đường tròn biểu diễn cho ba tập hợp các bạn đăng ký bóng đá, cầu lông và bóng bàn như hình vẽ. Phần giao của đường tròn bóng đá với cầu lông là số học sinh đăng ký cả môn bóng đá và cầu lông có số học
sinh là 5 bạn. Phần giao của đường tròn cầu lông và bóng bàn là 2 bạn và phần giao của đường tròn của bóng bàn và bóng đá là 6 bạn. Phần giao của ba đường tròn biểu diễn số học sinh đăng ký cả ba môn với số học sinh là 1 bạn.
Từ hình vẽ trên ta có:
+ Số bạn học sinh chỉ đăng ký hai môn bóng đá và cầu lông là: 5 - 1 = 4 [bạn]
+ Số bạn học sinh chỉ đăng ký hai môn cầu lông và bóng bàn là: 2 - 1 = 1 [bạn]
+ Số bạn học sinh chỉ đăng ký môn bóng bàn và bóng đá là: 6 - 1 = 5 [bạn]
+ Số bạn học sinh chỉ đăng ký môn bóng đá là : 22 - 4 - 5 - 1 = 12 [bạn]
+ Số bạn học sinh chỉ đăng ký môn cầu lông là: 15 - 4 - 1 -1 = 9 [bạn]
+ Số bạn học sinh chỉ đăng kí môn bóng bàn: 12 - 1 - 5 - 1 = 5 [bạn]
Số bạn học sinh đăng ký ít nhấ
t một môn thể thao là :
12 + 9 + 5 + 4 + 1 + 5 + 1 = 37 [bạn]
Số bạn học sinh không đăng ký môn thể thao nào là:
40 - 37 = 3 [bạn]
Đáp số: 3 bạn
Để dễ dàng hình dung hơn các bạn có thể quan sát hình 7 dưới đây:
* Chú ý:
Đối với các dạng bài có nhiều đường tròn giao nhau như trên ta làm như sau:
+ Bước 1: Tách những phần giao nhau thành các phần độc lập bằng cách trừ đi các phần giao nhau. Thực hiện tách từ các phần giao nhiều nhất đến các phần giao nhau nhỏ hơn và cuối cùng là các phần không giao nhau.
Ví dụ ở bài trên ta nhận thấy phần giao lớn nhất là giao của ba hình tròn [phần biểu diễn các bạn học sinh đăng ký cả ba môn], phần giao nhỏ hơn là giao của các cặp đường tròn [phần biểu diễn các bạn đăng ký hai môn thể thao] và cuối cùng các phần không giao nhau [phần biểu diễn các bạn chỉ đăng ký một môn thể thao]. Khi đó, phần giao độc lập của hai đường tròn sẽ bằng phần giao của hai đường tròn trừ đi phần giao của cả ba đường tròn. Và phần độc lập không giao nhau là phần đã trừ đi phần giao độc lập giữa các đường tròn.
+ Bước 2: Cộng tất cả các phần không giao nhau và tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta tính các đại lượng yêu cầu.
Bài 5*: Lớp 6A6 làm bài kiểm tra một tiết Toán, đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm tra, cô giáo tổng hợp được kết quả như sau: Có 22 em giải được bài toán thứ nhất, 18 em giải được bài toán thứ hai, 15 em giải được bài toán thứ ba, 10 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán thứ nhất và thứ hai, 5 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, và không có bạn nào bị điểm không. Hỏi số học sinh của lớp 6A6 nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
ĐÁP ÁNBiểu diễn các bạn làm được bài I, bài II và bài III bằng biểu đồ Ven như hình 8 bên dưới:
Gọi x là số học sinh làm được cả 3 bài toán [phần giao của ba đường tròn], Đường tròn lớn bao ngoài biểu diễn tất cả học sinh của lớp 6A6, trong đó, những bạn không thuộc đường tròn bài I, bài II và bài III là bằng 0 [Vì theo đề bài không có bạn nào bị điểm 0, tức là các bạn học sinh đều làm được ít nhất một bài toán]. Từ hình vẽ trên ta có:
Tổng số học sinh lớp 6A6 có thể là:
[15 + x] + [6 + x] + x +[5 - x] + [2 - x] + [10 - x] + x = 38 + x [học sinh]
Vậy số học sinh của lớp 6A6 nhiều nhất khi x lớn nhất, tức số bạn học sinh giải được cả ba bài lớn nhất. Khi đó, dễ dàng thấy x = 2 [Vì số học sinh làm được bài I và bài II chỉ có 2 bạn].
Do đó số học sinh lớp 6A6 nhiều nhất có thể là:
38 + 2 = 40 [bạn]
Đáp số: 40 [bạn]
Bài viết trên trình bày cách vận dụng phương pháp biểu đồ Ven để giải các bài toán khó một cách hiệu quả. Thông qua bài viết này, hi vọng các bạn học sinh có thể nắm được phương pháp biểu đồ Ven và vận dụng để giải các bài tập một cách dễ dàng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang