TÍCH VÔ HIÍ0NG CỦA HAI VECTSf VÀ IÌNG DỤNG Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0° đến 180° Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu thêm một phép toán mới về vectơ, dó là phép nhân vô hướng của hai vectơ. Phép nhân này cho kết quà là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc a bốt kì vối 0° < a < 180° là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn O'đã biết ỏ lớp 9. §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BAT kì TỪ 0° ĐẾN 180° 1 Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn ABC - a. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn a đã học ở lớp 9. Hình 2.1 ^2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm 0 nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị [h.2.2]. Nếu cho trước một góc nhọn a thì ta có thể xác định một điểm A4 duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xO/W = a. Giả sử điểm M có toạ độ [x0; y0]. Hình 2.2 Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc a bất kì với 0° < a < 180°, ta có định nghĩa sau đây : Định nghĩa Với mỗi góc a [0° < a < 180°] ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị [h.2.3] sao cho xOM = a và giả sử điểm M có toạ độ M[x0 ; y0]. Khi đó ta định nghĩa: sin của góc Cố là y0, kí hiệu sin a - y0 ; côsin của góc cdà Xq, kí hiệu cos cz= x0; 7 x v yA . yQ tang của góc a là — [x0 0], kí hiệu tana= — ; • côtang của góc a là — [y0 * 0], kí hiệu cotcz = —. Các Số sina, cosa, tano, cotađược gọi là các giá trị lượng giác của góc a. Ví dụ. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°. Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = 135°. Khi đó ta có . /T Vậy sinl35u=-^—; cosl35°=-—7- 2 '2 [h.2.4]. yOM = 45° . Từ đó ta suy ra toạ độ của điểm M là O = 7| 2 tanl35°=-l; cotl35° =-1. Chú ý.* Nếu alà góc tù thì coscz< 0, tanơ< 0, cotac 0. • tan a chỉ xác định khi a 90°, cotưchỉ xác định khi a 0° và a *180°. Tính chất Trên hình 2.5 ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM - a thì xON = 180° - a. Ta có yM = yN = }>Q, XM = -XN = XQ . Do đó sina= sin [180° - à] cosa=-cos[180°- à] tana- - tan [ì 80° - à] cota= - cot [180° - 6Ộ. X Hình 2.5 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi. Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta cần ghi nhớ. Bảng giá trị lượng giác của các góc dạc biệt Giá tr|\. a lượng giác 0° 30° 45° 60° o O Ch 180° sina 0 1 2 72 2 73 2 1 0 cosư 1 73 2 72 2 1 2 0 -1 tan a 0 1 7^ 1 73 II 0 cotứr II 73 1 1 73 0 II Trong bảng, kí hiệu " II " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn : sin 120° = sin[l 80° - 60°] - sin 60° = y- Ư2 • COS1350 = cos[180°-45°] =-cos45° =- 2 • ^3 Tìm các giá trị lượng giác của các góc 120°, 150°. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectợ 0 . Từ một điểm o hất kì ta vẽ OA = a yà OB = ĩ]. Góc AOB với số đo từ 0° đến |ị 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .Ta kí hiệu góc I giữa hai vectơ a và b là [a , b] [h.2.6]. Nếu [a , h ]= 90“ thì ta nói rằng a và h vuông góc với nhau, kí hiệu là a 1 b II hoặc b la. Chú ý. Từ định nghĩa ta có [] = [b , a]. Hình 2.6 ■^4 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0° ? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180° ? Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 50° [h.2.7]. Khi đó : [BA, BC] = 50° , [AB, BC] = 130°, [CA, CB] = 40°, [AC, BC] = 40° , [AC, CB] = 140°, [AC, BA] = 90°. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau :
Ta có \[\tan 80^\circ = cot10^\circ ;\tan 70^\circ = cot20^\circ ;\tan 50^\circ = cot40^\circ ;\tan 60^\circ = \cot 30^\circ \] và \[\tan \alpha .cot\alpha = 1\]
Nên \[B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .tan80^\circ \]\[ = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ \]
\[ = \left[ {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right].\left[ {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right].\left[ {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right].\left[ {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right]\]
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho \[AD = \frac{a}{2}\]. Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.14 29/11/2022 Xem đáp án
Để làm đường điện dây cao thế ở Hà Giang từ vị trí bản A đến bản B, người ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ bản A đến bản C dài 12 km rồi nối từ bản C đến bản B dài 8 km. Qua đo đạc người ta xác định được \[\widehat {ABC} = 65^\circ \]. Hỏi so với việc nối thẳng từ bản A đến bản B, người ta tốn thêm bao nhiêu tiền, biết mỗi km dây có giá 150 000 đồng.