Khái niệmphương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyếncủa mộtđường congtại một điểm bất kì thuộc đường cong là mộtđường thẳngchỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó.Tiếp tuyến như mộtđường thẳngnối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong.Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường congy=f[x]tại điểmx=ctrên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm[c,f[c]]trên đường cong và có độ dốcf'[c]vớif'làđạo hàmcủaf.
Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.
Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.
- Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f[x] . Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f[x0] = k;với x0 là hoành độ tiếp điểm.
Giải phương trình này các bạn sẽ tìm được x0, từ đó sẽ tìm được y0 .
Đạo hàm của hàm sốy = f[x]tại điểmx0là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị[C]của hàm số tai điểmM[x0;y0].
Khi đó phương trình tiếp tuyến của[C]tại điểmM[x0;y0]lày = y[x0][xx0] + y0
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểmx.
Các dạng toán thường gặpcủa phương trình tiếp tuyến
- Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
- Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
- Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k
-
Phương trình tiếp tuyếntại tiếp điểmM[x0,y0]có dạng:
y = f[x0][xx0] + y0[1]
Trong đó:f[x0]là đạo hàm của hàm số tại điểmx0.
x0; y0là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.
Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng là:f[x0]; x0 và y0.
Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm:
Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trướcM[x0, y0]
Cách làm:Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmM[x0,y0]thì công việc cần làm là tìmf[x0]; x0 và y0, trong đóx0, y0chính là tọa độ của điểm M, vì vậychỉ cần tínhf[x0], rồi thay vào phương trình [1] là xong.
-
Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Cho đồ thị hàm số y=f[x], viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A[a,b]
Phương pháp:
Gọi phương trình tiếp tuyến củaΔcó dạng: y = fx_{0}[x x_{0}] + y_{0} [2]
Và có tiếp điểmM0[x0,y0]
Vì A[a,b] thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:
b=fx0[ax0]+fx0vớifx0=y0
Phương trình này chỉ chứa ẩnx0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìmx0.
Sau đó sẽ tìm đượcfx0vày0.
Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.
-
Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
Để viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị[C] y = f[x] khihệ số góc k ta làm theo các bước sau:
- Bước 1:Tính đạo hàm f[x]
- Bước 2:Giải phương trình f[x] = k để tìm hoành độx0của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểmM0[x0;y0]vớiy0=f[x0]
- Bước 3:Viết phương trình tiếp tuyếnΔtại tiếp điểmM0[x0;y0]:
y=f[x0][xx0]+y0
*Chú ý:Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thìk= a
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những kiến thức toáncơ bản để ôn thi kết thúc THPT. Muốn thành thạo dạng toán này, không có cách nào khác là ta phải làm bài tập nhiều để ghi nhớ rõ ràng các phương pháp. Xem thêm các kiến thức về bài toán hàm số và vẽ đồ thị hàm số.