Kiến thức lớp 10 là một trong những kiến thức quan trọng trong các bài thi đại học. Chính vì vậy việc nắm rõ các công thức Toán học lớp 10 quan trọng có thể giúp các em đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán hơn.
Trong bài viết này, TrangEdu tổng hợp danh sách toàn bộ các công thức Toán học lớp 10 quan trọng, có tính ứng dụng cao trong các bài tập, đề ôn thi đại học.
A. CÔNG THỨC TOÁN 10 – PHẦN ĐẠI SỐ
I. Các công thức về bất đẳng thức
*Tính chất 1: a > b và b > c => a > c [tính chất bắc cầu]
*Tính chất 2: a > b => a + c > b + c
Có nghĩa là nếu bạn cộng 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số, ta được một bất đẳng thức không thay đổi về chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.
*Quy tắc chuyển vế: a > b + c => a – c > b
*Tính chất 3:
$\left\{\begin{matrix} a > b \\ c > d \end{matrix}\right. => a + c > b + d$
*Tính chất 4: a > b => a.c > b.c [nếu c > 0] hoặc a.c < b.c [nếu c < 0]
*Tính chất 5:
$\left\{\begin{matrix} a > b > 0 \\ c > d > 0 \end{matrix}\right. => a.c > b.d$
Có nghĩa là: Nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều, ta được một bất đẳng thức cùng chiều. [Không có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều].
*Tính chất 6:
$a > b > 0 => a^{n} > b^{n}$ [n nguyên dương]
*Tính chất 7:
$a > b > 0 => \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ [n nguyên dương]
*Bất đẳng thức Cô-si:
Nếu $a \geq 0$ và $b \geq 0$ thì $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Có nghĩa là trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Ta có hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Về ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Về ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất.
*Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:
$\left|x\right| = x$ nếu x > 0 và $\left|x\right| = -x$ nếu x < 0.
Từ định nghĩa suy ra $\forall x \in R$, ta có:
$\left| x \right| \geq 0$
$\left|x \right|{2}=x{2}$
$x \leq \left|x\right|$ và $-x \leq \left| x\right|$
Định lí: Với mọi số thực a và b, ta có:
$\left| a + b\right|\leq \left| a\right| + \left| b\right|$ [1]
$\left| a – b\right|\leq \left| a\right| + \left| b\right|$ [2]
$\left| a + b\right| = \left|a \right| + \left| b\right|$ khi và chỉ khi $a.b \geq 0$
$\left| a – b\right| = \left|a \right| + \left| b\right|$ khi và chỉ khi $a.b \leq 0$
II. Các công thức về phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ $[a\neq 0]$
1. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai: $\Delta = b^{2} -4ac$
- Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm
- Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = -\frac{b}{2a}$
- Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
$x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
2. Công thức tính nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Trường hợp “b chẵn” [ví dụ b = 2, 4, $2\sqrt{2}$, 2m-2[m+1]] ta có thể sử dụng công thức nghiệm thu gọn như sau:
$\Delta’= b’^{2} – ac$
$b’=\frac{b}{2}$
- Nếu $\Delta’ < 0$: Phương trình vô nghiệm
- Nếu $\Delta’ = 0$: Phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = -\frac{b’}{a}$
- Nếu $\Delta’ > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_{1} = \frac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}$
$x_{2} = \frac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}$
Lưu ý: $ax^{2} + bx + c = 0 = a[x-x_{1}][x-x_{2}]$ với $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$
3. Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc 2: $ax^{2} + bx + c = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì:
$\left\{\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \\ P = x_{1} + x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}\right.x$
4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $[\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $[\begin{matrix} x_{1} = -1 \\ x_{2} = -\frac{c}{a} \end{matrix}$
5. Dấu của nghiệm số $ax^{2} + bx + c = 0 $ $[a\neq 0]$
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: $x_{1} < 0 < x_{2} \Leftrightarrow P < 0$
- Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: $0 < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 \\ P > 0 \\ S > 0 \end{matrix}\right.$
- Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt $x_{1} < x_{2} < 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta >0 \\P>0
\\S0$ $\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a > 0 \\\Delta 0 \\\Delta \leq 0
\end{matrix}\right.$
$f[x]