- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Tọa độ của vecto
a] Định nghĩa
Ta gọi bộ ba số [x; y; z] là tọa độ của vecto u→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước
u→=[x;y;z]⇔u→=xi→+yj→+zk→
b] Tính chất
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a→ =[a1;a2;a3 ] và b→ =[b1;b2;b3 ]; k∈R
+
+
+
+
+
+
2. Tọa độ của điểm
a] Định nghĩa
M[x;y;z]⇔OM→= xi→+yj→+zk→[x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ]
b] Tính chất
Cho A[x A; y A; z A ];B[x B; y B; z B ]
+ AB→ =[xA-xB;yA-yB;zA-zB ]
+
+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
+
+ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
+
+ Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
+
Quảng cáo
Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→ =-3i→ +5j→ +2k→ ; b→ =[3;2; -1]; c→ =3j→ -2k→ ; d→ =[5; -3;2]
a] Tìm tọa độ của các vecto a→ - 2b→ + c→ ; 3b→ -2c→ +d→
b] Tìm tọa độ của vecto 2a→ -b→ +1/3c→
c] Phân tích vecto d→ theo 3 vecto a→ ; b→ ; c→
Hướng dẫn:
a] a→ =[-3;5;2]; 2b→ =[6;4; -2]; c→ =[0;3; -2]
⇒ a→- 2 b→+ c→=[-9;4; 2]
3 b→=[9;6; -3]; 2 c→=[0;6; -4]; d→=[5; -3;2]
⇒3 b→-2 c→+ d→=[14; -3;7]
b]
c] giả sử d→=ma→+nb→+pc→
Quảng cáo
Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; -3;1];B[2;5;1] và vecto OC→=-3 i→+2 j→+5 k→
a] Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b] Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
c] Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB→+2 AM→=3 CM→
Hướng dẫn:
a]
⇒BC→; AC→ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng
Gọi D [x; y; z] ⇒AD→=[x-1;y+3;z-1]
ABCD là hình bình hành ⇔AD→=BC→
b]
⇒OA→; OB→ không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng.
Gọi E [x; y; z] ⇒EB→=[2-x;5-y;1-z]
Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE.
⇒OA→=2EB→
c] Gọi M [x; y; z]. Ta có:
AB→=[1;8;0]⇒3AB→=[3;24;0]
AM→=[x-1;y+3;z-1]⇒2AM→=[2x-2;2y+6;2z-2]
CM→=[x+3;y-2;z-5]⇒3CM→=[3x+9;3y-6;3z-15]
3AB→+2AM→=3CM→
Vậy M[-8; 36; 13]
Bài 3:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A[1;0;1],B[2;1;2],D[1; -1;1];C^' [4;5; -5]. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Hướng dẫn:
+ Gọi C [x; y; z]
Ta có: AB→ =[1;1;1];DC→ =[x-1;y+1;z-1]
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB→ =DC→
+ Gọi D’ [x; y; z]
Ta có: D'C'→ =[4-x;5-y; -5-z]; DC→ =[1;1;1]
Tứ giác DCC’D’ là hình bình hành ⇔D'C'→=DC→
+ Gọi A’ [x; y; z]
Ta có: A'D'→=[3-x;4-y; -6-z]; AD→=[0; -1;0]
Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành ⇔A'D'→=AD→
+ Gọi B’ [x; y; z]
Ta có: D'C'→=[1;1;1];A'B'→=[x-3;y-5;z+6]
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔A'B'→=D'C'→
Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A[1; 3; 2], B[3; -5; 6], C [2; 1; 3].
a] Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB
b] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và hình chiếu của G lên Ox
c] Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm A qua điểm C
d] Tìm tọa độ điểm F trên mặt phẳng Oxz sao cho |FA→+FB→+FC→ | nhỏ nhất
e] Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua trục tung.
Hướng dẫn:
a] M là trung điểm của cạnh AB
b] G là trọng tâm của tam giác ABC
Hình chiếu của G lên trục Ox là H [2; 0; 0]
c] Gọi N [x; y; z]
N đối xứng với A qua C ⇔ C là trung điểm của AN
⇒N[3; -1;4]
d] Ta có: |FA→ +FB→ +FC→ |=|3FG→ |=3FG
Do đó: |FA→ +FB→ +FC→ | nhỏ nhất ⇔ FG nhỏ nhất ⇔ F là hình chiếu của G lên mặt phẳng [Oxz]
e] Hình chiếu của B lên trục Oy là H [0; -5; 0]
B’ là điểm đối xứng với điểm B qua trục tung ⇔ H là trung điểm của đoạn BB’
⇒B'[-3; -5; -6]
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: a→=[2; -5;3], b→=[0;2;-1],c→=[1;7;2]. Tọa độ vectơ d→=a→-4b→-2c→ là:
A. [0; - 27;3] B. [1;2; - 7]
C. [0;27;3] D. [0;27; - 3]
Đáp án : A
Giải thích :
a→=[2; -5;3], 4b→=[0;8; -4];2c→=[2;14;4]
d→=a→-4b→-2c→=[0; -27;3]
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A[3;-2;5], B[-2;1;-3] và C[5;1;1]. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:
A. G[2;0;1] B. G[2;1;-1]
C. G[-2;0;1] D. G[2;0;-1]
Đáp án : A
Giải thích :
A [3; -2; 5], B[-2; 1; -3], C[5; 1; 1]
G là trọng tâm tam giác ABC
hay G[2;0;1]
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A[4;0;0], B[0;2;0], C[0;0;4] Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành:
A. [4;-2;4] B. [2;-2;4]
C. [-4;2;4] D. [4;2;2]
Đáp án : C
Giải thích :
D [x; y; z] ⇒DC→=[-x; -y;4-z]
AB→=[-4;2;0]
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB→=DC→
⇒D[4; -2;4]
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Tìm khoảng cách giữa hai điểm M[2;1;-3] và N[4;-5;0] ?
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
Đáp án : C
Giải thích :
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD với A[1;0;0], B[0;1;0], C[0;0;1], D[1;1;1]. Khi đó trung điểm G của MN có tọa độ là:
Đáp án : D
Giải thích :
A[1;0;0], B[0;1;0], C[0;0;1], D[1;1;1]
M là trung điểm của AB ⇒M[1/2;1/2;0 ]
N là trung điểm của CD ⇒N[1/2;1/2;1]
G là trung điểm của MN ⇒ G[1/2; 1/2; 1/2]
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC A[2;0;0], B[0;3;1], C[-3;6;4]. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC=2MB. Độ dài đoạn AM bằng:
A. 3√3 B. 2√7
C. √29 D. √30
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi M[x; y; z]
CM→=[-3-x;6-y;4-z]; MB→=[x;y-3;z-1]
Theo bài ra, CM→=2MB→
⇒M[-1;4;2]
A[2; 0; 0]
⇒AM=√29
Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho OM→=i→-2j→+3k→, khi đó tọa độ của điểm M với hệ Oxyz là:
A. [-1;2;-3] B. [1;-2;3]
C. [1;-2;1] D. [-2;1;3]
Bài 8:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành OABD có OA→=a→[-1;1;0], OB→=b→[1;1;0] [O là gốc toạ độ] . Toạ độ tâm hình bình hành OABD là:
A. [1/2;1/2;0] B. [1;0;0]
C. [1;0;1] D. [1;1;0]
Đáp án : A
Giải thích :
Tâm hình bình hành OABD là trung điểm của đường chéo OB
⇒Tọa độ tâm là [1/2; 1/2;0]
Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A[1;2;-1], B[2;-1;3], C[-2;3;3]. Điểm M[a;b;c] là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM, khi đó P=a2+b2-c2 có giá trị bằng:
A. 44 B. 43
C. 42 D. 45
Đáp án : A
Giải thích :
M[a; b; c] ⇒MC→=[-2-a;3-b;3-c]
AB→=[1; -3;4]
ABCM là hình bình hành ⇔AB→=MC→
⇒P=a2+b2-c2=44
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có hai điểm trên trục hoành mà khoảng cách từ đó đến điểm M[-3; 4; 8] bằng 12. Tổng hai hoành độ của chúng là:
A. -6 B. 5
C. 6 D. 11
Đáp án : A
Giải thích :
Điểm cần tìm N [x; 0; 0]
MN2=[x+3]2+42+82=[x+3]2+80
Theo bài ra: MN = 12
⇒[x+3]2+80=122⇔[x+3]2=64
⇒ Có 2 điểm N thỏa mãn có tọa độ là [5; 0; 0] và [-11; 0; 0]
⇒Tổng hoành độ của chúng bằng -6
Bài 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A[1;2;-1], B[2;-1;3], C[-2;3;3]. Tìm tọa độ điểm D và chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC:
A. D[0;1;3] B. D[0;3;1]
C. D[0;-3;1] D. D[0;3;-1]
Đáp án : A
Giải thích :
AB=|AB→ |=√26; AC=|AC→ |=26
AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
Do đó điểm D chân đường phân giác trong của góc A là trung điểm của BC
⇒D[0;1;3]
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho vecto u→=mi→+j→+2k→. Biết |u→|=√5. Khi đó giá trị m bằng:
A. m=0 B. m=1
C. m=2 D. m=-1
Đáp án : A
Giải thích :
u→=[m;1;2]⇒|u→ |=√[m2+1+22 ]=√[m2+5]
Theo bài ra: |u→ |=√5⇒√[m2+5]=√5⇒m=0
Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các vectơ a→=[2;1;1], c→=[3;-1;2]. Tìm tọa độ của vectơ b→ thỏa mãn biểu thức 2b→-a→+3c→=0→ là:
Đáp án : C
Giải thích :
2b→-a→+3c→=0→⇒2b→=a→-3c→=[-7;4; -5]
⇒b→=[[-7]/2;2; [-5]/2]
Bài 14: Cho hai điểm A[3;4;2] và B[-1;-2;2]. Xét điểm C sao cho điểm G[1;1;2] là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn câu đúng:
A. C[1;1;2] B. C[0;1;2]
C. C[1;1;0] D. Không có điểm C như thế.
Đáp án : A
Giải thích :
C[x; y; z]
G[1; 1; 2] là trọng tâm của tam giác ABC
⇒C[1;1;2]
Bài 15: Chọn hệ tọa độ sao cho các đỉnh A, B, A', C' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là A[-2; 0; 0], B[1; 0; 0], A’ [0; 0; 1], C’ [1; 1; 1]. Tìm tọa độ của tâm hình vuông BCC'B'.
A. [1/2;1;1] B.[1;1/2;1]
C. [1;1/2;1/2] D. [1;1;1/2]
Đáp án : C
Giải thích :
Tâm của hình vuông BCC’B’ là trung điểm của đường chéo BC’
⇒Tọa độ tâm là [1;1/2; 1/2 ]
Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A[-1;2;3], B[0;1;1], độ dài đoạn bằng:
A. √6 B. √8
C. √10 D. √12
Bài 17: Trong không gian Oxyz, gọi i→, j→, k→là các vectơ đơn vị, khi đó với M[x;y;z] thì OM→bằng:
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A[2;-1;6], B[-3;-1;-4], C[5;-1;0]. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong mặt phẳng Oxz, tính bán kính:
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi I [a; 0; c ] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có: IA2=[a-2]2+12+[c-6]2
IB2=[a+3]2+12+[c+4]2
IC2=[a-5]2+12+c2
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC hay
IA2=IB2=IC2
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm K[2;4;6], gọi K' là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz, khi đó trung điểm OK' có toạ độ là:
A. [1;0;0] B. [0;0;3]
C. [0;2;0] D. [1;2;3]
Đáp án : B
Giải thích :
K’ là hình chiếu vuông góc của K trên trục Oz ⇒K' [0;0;6]
⇒ Trung điểm OK’ có tọa độ là [0; 0; 3]
Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng [Oxy] sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy, khi đó tọa độ điểm M là [a, b, c ≠ 0 ]:
A. [0;b;a] B. [a;b;0]
C. [0;0;c] D. [a;1;1]
Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho a→[0;3;4] và |b→|=2|a→|, khi đó tọa độ vectơ b→ có thể là:
A. [-8;0;-6] B. [4;0;3]
C.[2;0;1] D. [0;3;4]
Đáp án : A
Giải thích :
|a→ |=5⇒ |b→ |=2|a→ |=10
⇒ b→[-8;0; -6]
Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→[1;-1;2], b→[3;0;-1], c→[-2;5;1], vectơ m→=a→+ b→- c→có tọa độ là:
A. [6;0;-6] B. [-6;6;0]
C. [6;-6;0] D. [0;6;-6]
Bài 23: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A[1;0;-3], B[2;4;-1], C[2;-2;0]. Độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC lần lượt là:
Bài 24: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A[1;0;-3], B[2;4;-1], C[2;-2;0]. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
Bài 25: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a→=[1;2;3], b→=[-2;0;1], c→=[-1;0;1]. Tìm tọa độ của vectơ n→=a→+b→+2c→-3i→
A. n→=[-6;2;-6] B. n→=[6;2;-6]
C.n→=[-6;-2;-6] D.n→=[-6;2;6]
Bài 26: Cho điểm M[1;2;-3], hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng[Oxy] là điểm:
A. M'[1;2;0] B. M'[1;0;-3]
C. M'[0;2;-3] D. M'[1;2;3]
Bài 27: Cho điểm M[-2;5;0], hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M'[0;-5;0] B. M'[0;5;0]
C. M'[2;5;0] D. M'[-2;0;0]
Bài 28: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A[1;2;1], B[2;-1;2]. Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là
Đáp án : A
Giải thích :
Theo bài ra, M cách đều 2 điểm A, B
⇔|x-1|=|x-2|⇔x=3/2
⇒M[3/2;0;0]
Bài 29: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A[1;0;2], B[-2;1;3], C[3;2;4], D[6;9;-5]. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
A. G[3;3;14/4] B. G[8;12;4]
C. G[2;3;1] D. G[-9;18/4;-30]
Bài 30: Cho điểm M[3;2;-1], điểm M'[a;b;c] đối xứng của M qua trục Oy, khi đó a+b+c bằng:
A. 4 B. 6
C. 0 D. 2
Đáp án : C
Giải thích :
H [ 0; 2; 0] là hình chiếu vuông góc của M trên Oy
M’ đối xứng với M qua Oy nên H là trung điểm của MM’
⇒M'[-3;2;1]
Khi đó a + b + c = 0
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp