A. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n→[ a;b].
Một điểm M[x0; y0] thuộc đường thẳng d nếu: ax0 + by0 + c = 0.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x- 3y+ 7= 0 là :
A. n4→ = [2; -3] B. n2→ = [2; 3] C. n3→ = [3; 2] D. n1→ = [-3; 2]
Lời giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto [ a; b] làm VTPT.
⇒ đường thẳng d nhận vecto n→[ 2;-3] là VTPT.
Chọn A.
Ví dụ 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[1; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[ 0; 1] làm VTPT.
Suy ra vecto n'→[ 0; -1 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n'→ là cùng phương] .
Chọn B.
Ví dụ 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[2; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[1;0] làm VTPT.
Suy ra vecto n'→[ 2; 0 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n'→ là cùng phương] .
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho đường thẳng ∆: x- 3y- 2= 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?
A. n1→ = [1; -3] . B. n2→ = [-2; 6] . C. n3→ = [
Lời giải
Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.
Nếu vecto n→ ≠ 0→ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n→ cũng là VTPT của đường thẳng ∆.
∆ : x - 3y - 2 = 0 → nd→ = [1; -3] →
=> Vecto [ 3; 1] không là VTPT của đường thẳng ∆.
Chọn D
Ví dụ 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A. n→[ 1; 1] B. n→[0; 1] C. n→[1;0] D. n→[ 1; -1]
Lời giải
Đường phân giác của góc phần tư [II] có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n→[ 1; 1]
Chọn A.
Ví dụ 6. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.
Lời giải
Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.
Chọn D.
Ví dụ 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?
A. n1→ = [2;0]. B. n1→ = [2;2098] C. n1→ = [2; -19] D. n1→ = [-19;2098]
Lời giải
Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n→[ a; b] .
Do đó; đường thẳng d có VTPT n→[ 2; -19].
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. A[3; 0] B. B[1;2] C. C[1;2] D. D[2;-1]
Lời giải
Ta xét các phương án :
+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 - 2.0 + 3 = 0 vô lí
⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.
+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 - 2.2 + 3 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[- 3;0] B. B[0;2] C. [3;4] D. D[1;2]Lời giải
+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.[-3] - 3.0 + 6 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 3.2 + 6 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 - 3.4 + 6 = 0
⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 - 3.2 + 6 = 2 ≠ 0
⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.
Chọn D
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?
A. n1→[ 4; 6] B. n2→[-2;-3] C. n3→[ 4; -6] D. n4→[-6;-9]
Câu 2: Cho đường thẳng d:
A. n→[ 2;3] B. n→[ 3;2] C. n→[ 2; -3] D. n→[ -2;3]
Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x - 4y + 2018 = 0
A. n1→ = [1; 4]. B. n1→ = [4;1] C. n1→ = [2;8] D. n1→ = [-2;8]
Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. d có vectơ pháp tuyến n→ = [3; 5]
B. d có vectơ chỉ phương u→ = [5; -3]
C. d có hệ số góc k =
D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.
Câu 5: Đường thẳng d: 12x - 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?
A. M[1; 1] B. N[ -1; -1] C. P[-
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có A[ 1; 2] ; B[ 2;4]. Tìm một VTPT của đường thẳng AC?
A. n→[ 1; -2] B. n→[ 2; 4] C. n→[-2; 1] D. n→[2; 1]
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A[ 1; -4] và M[ -2; 3] là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?
A. n→[ 1; -4] B. n→[ 3;5] C. n→[3;-7] D. n→[5;-3]
Câu 8: Cho đường thẳng d: 2x - 5y - 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[5; 0] B. B[0; -2] C. C[-5; -4] D. D[-2; 3]
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]
Nhận xét :
- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u} [ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\] , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u} = [u_1; u_2]\] làm vectơ chỉ phương là :
\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\]
-Khi \[u_1≠ 0\] thì tỉ số \[k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:
\[y – y_0 = k[x – x_0]\]
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\] ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]
Nhận xét:
- Nếu \[\vec{n}\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì k\[\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu \[a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\] hoặc trùng Ox [khi c=0]
+ Nếu \[b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\] hoặc trùng Oy [khi c=0]
+ Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 => ∆\] đi qua gốc tọa độ
+ Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[A[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \[∆\] :
\[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\]
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0
Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]] là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:
[1] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\]
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 \[ \equiv \]∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x+b1y + c1 = 0
∆2: a2x+b2y + c2 = 0
Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
\[\cos \varphi\] = \[\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]
Chú ý:
+ \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\] \[ \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\]
+ Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
\[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\]
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c=0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]].
Khoảng cách từ điểm \[M_0\] đến đường thẳng \[∆\] kí hiệu là \[d[M_0,∆]\], được tính bởi công thức
\[d[M_0,∆]=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]
Loigiaihay.com