Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tài liệu phục vụ quá trình dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÀ GÌ?
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là:
Nghị luận về tuổi trẻ và tương lai đất nước
Dàn ý nghị luận về tuổi trẻ và tương lai đất nước
Nghị luận về văn học và tình thương
Dàn ý Nghị luận về văn học và tình thương
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
Đường thẳng d đi qua điểm, nhận
là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng làII. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Sau đây chúng tôi sẽ liệt kê các bước viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm một cách tổng quát nhất:
Bước 1: Gọi tỏng quát đường thẳng có dạng y = ax+b [a khác 0]
Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng, ta được 2 phương trình.
Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm a và b
Bước 4: Viết phương trình tổng quát
Với nhiều bài toán dạng này, các bạn đều làm theo 4 bước chung ở trên, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số dạng đặc biệt cụ thể.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc trục tọa độ
- Nếu hai điểm cùng nằm trên trụcOxphương trình đường thẳng là phương trình của trụcOx:y=0
- Nếu hai điểm cùng nằm trên trụcOyphương trình đường thẳng là phương trình của trụcOy:x=0
- Nếu một điểm nằm trênOxcó tọa độ[a;0]và một điểm nằm trênOycó tọa độ[0;b]thì phương trình đường thẳng là :
- x/a+y/b=1 Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ:
Trong mặt phẳngOxycho hai điểmA[0;2]vàB[3;0]. Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểmA;B
Cách giải:
Vì hai điểmA;Bnằm trên hai trục tọa độ nên ta sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn :
AB:x/3+y/2=1
2x+3y6=0
2. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Bài toán:Cho hàm số bậc bay=f[x]=ax3+bx2+cx+dcó2điểm cực trịA[x1;y1];B[x2;y2]. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua2điểm cực trị đó ?
Với những bài toán hàm sốf[x]đã biết thì ta dễ dàng tìm ra tọa độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó
Với những bài toán mà hàm sốf[x]có hệ số chứa tham sốmthì ta sẽ làm như sau để viết được phương trình đường thẳng chứa tham sốmcủa hai điểm cực trị :
Cách giải:
- Bước 1: Tính đạo hàmy=3ax2+2bx+c
- Bước 2:Chia hàm sốychoyta được:
- f[x]=Q[x].f[x]+P[x]vớiP[x]=Ax+Blà hàm số bậc nhất
- Bước 3:Vìf[x1]=f[x2]=0nên:
- {y1=f[x1]=Ax1+By2=f[x2]=Ax2+Bphương trình đường thẳng lày=Ax+B
- Từ các bước trên ta tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc bay=f[x]=ax3+bx2+cx+dlà :
- 2/3[cb2/3a]x+[dbc/9a]
Ví dụ:
Cho hàm sốy=2x3+3[m1]x2+6[m2]x1. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳngy=4x+1
Cách giải:
Ta có :y=6x2+6[m1]x+6[m2]
Hàm số có hai cực trịΔ=[m1]24[m2]>0
[m3]2>0m3
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳngy=4x+1thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
4=2/3[6[m2]9[m1]2/6]=4[m2][m1]2
[m3]2=4[m=1 hoặc m=5]
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ, tung độ
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm[a;y1]và[a;y2]có dạng :x=a
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm[x1;b]và[x2;b]có dạng :y=b
Ví dụ:
Trong mặt phẳngOxycho hai điểmA[7;2]vàB[100;2]. Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểmA;B
Cách giải:
Vì hai điểmA,Bcó cùng tung độ nên
phương trình đường thẳngAB:y=2
III. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Bài 1:Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a] Đi qua 2 điểm A[-3,2], B [5,-4]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
b] Đi qua A [3,1] song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Vậy PT tổng quát cần tìm là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A[3; 1]
1 = 3.[-2] + b
b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Bài 2:Cho hàm số
Cách giải:
Ta có :
Hàm số có hai cực trị
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
Bài 3:Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A [1;2] và B [2;3]. Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.
Hướng dẫn giải
| Cách 1:Sử dụng định nghĩa | Cách 2:Sử dụng phương trình tổng quát |
Phương trình tham số: Phương trình tổng quát: | Phương trình tham số: Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có: Vậy PT tổng quát cần tìm là: |
Bài 4:Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng:
a] Đi qua điểm A[4; 3], B[2;- 1]
b] Đi qua điểm A[1;- 1] và song song với Ox
Bài giải:
a]. Phương trình đường thẳng [d] qua A[4; 3] và B[2;- 1] có dạng tổng quát là y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số cần xác định.
Vì A[4; 3] d nên ta có phương trình của [d], do đó ta có: 3 = a.4 + b.
Tương tự B[2;- 1] d nên ta có: 1 = a.2 + b
Từ đó ta tìm được phương trình đường thẳng AB là: y = 2x 5.
Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x 5.
b]. y = 1.
Bài 5:Viết phương trình dạng y = ax + b của đường thẳng đi qua hai điểm M[-1;3] và N[1;2]
Bài giải:
Vì đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b nên ta cần xác định các hệ số a và b.
Đường thẳng đó đi qua M[-1;3] và N[1;2], tức là tọa độ M và N thỏa mãn phương trình y = ax + b.
Đường thẳng đi qua M[-1;3] và N[1;2] nên ta có:
-a + b = 3 và a + b = 2
Giải ra ta có : a=-1/2 ; b=5/2
Vậy phương trình đường thẳng là: y = [-1/2]x + 5/2
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].
Ta có:vecto AB = [3 1; 4 2] = [2;2]
Chọn u[1;1] là VTCP của đt[d] [lấy như vậy để tinh gọn tính toán sau này].
vậy VTPT của [d] là n[-1;1].
Phương trình tham số của [d]: x = 1 + t ; y = 2 + t [t thuộc R].
Phương trình tổng quát [d]: [-1][x-1] + 1[y-2] = 0 x y + 1 = 0.
Phương trình chính tắc [d]: [x-1]/[-1] = [y-2]/1.
Phương trình theo hệ số góc:
Hệ số góc của đường thẳng [d] k = [4-2]/[3-1] = 2/2 = 1.
Vậy phương trình đường thẳng[d]: y = 1[x-1] + 2 y = x+1.
Bài 7:Cho Parabol [P]:y=ײ. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc [P] và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Bài giải:
Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc [P] nên ta có tung độy =[1]²=1 =>A[1;1]
Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc [P] nên ta có tung độ y =[2]²=4 B[2;4]
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d:y=ax+b
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nê n ta có:
Thay a=-3 và b=2 vào phương trình đường thẳng d thì d là:y=3x+2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là:y=3x+2
Chú ý:Hai điểm A và B có thể biết trước tọa độ hoặc chưa biết tọa độ ngay, chúng ta cần phải đi tìm tọa độ của chúng.
Vậy là quý thầy cô và các bạn học sinh vừa được chia sẻ cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nhanh nhất. Hi vọng, đây là sẽ là nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nữa bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tài liệu phục vụ quá trình dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÀ GÌ?
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là:nhậnlàm vectơ pháp tuyến.
Nghị luận về sự bổ ích của những chuyến tham quan du lịch đối với học sinh
Dàn ý thuyết minh về chiếc nón lá Việt Nam
Nghị luận về câu nói Có tài mà không có đức là kẻ vô dụng
Thuyết minh về chiếc nón lá
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
nhậnlàm vecto chỉ phương, Ta có:Đường thẳng d đi qua điểm, nhận
là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng làvớiII. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Sau đây chúng tôi sẽ liệt kê các bước viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm một cách tổng quát nhất:
Bước 1: Gọi tỏng quát đường thẳng có dạng y = ax+b [a khác 0]
Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng, ta được 2 phương trình.
Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm a và b
Bước 4: Viết phương trình tổng quát
Với nhiều bài toán dạng này, các bạn đều làm theo 4 bước chung ở trên, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số dạng đặc biệt cụ thể.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc trục tọa độ
- Nếu hai điểm cùng nằm trên trụcOxphương trình đường thẳng là phương trình của trụcOx:y=0
- Nếu hai điểm cùng nằm trên trụcOyphương trình đường thẳng là phương trình của trụcOy:x=0
- Nếu một điểm nằm trênOxcó tọa độ[a;0]và một điểm nằm trênOycó tọa độ[0;b]thì phương trình đường thẳng là :
- x/a+y/b=1 Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ:
Trong mặt phẳngOxycho hai điểmA[0;2]vàB[3;0]. Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểmA;B
Cách giải:
Vì hai điểmA;Bnằm trên hai trục tọa độ nên ta sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn :
AB:x/3+y/2=1
2x+3y6=0
2. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Bài toán:Cho hàm số bậc bay=f[x]=ax3+bx2+cx+dcó2điểm cực trịA[x1;y1];B[x2;y2]. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua2điểm cực trị đó ?
Với những bài toán hàm sốf[x]đã biết thì ta dễ dàng tìm ra tọa độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó
Với những bài toán mà hàm sốf[x]có hệ số chứa tham sốmthì ta sẽ làm như sau để viết được phương trình đường thẳng chứa tham sốmcủa hai điểm cực trị :
Cách giải:
- Bước 1: Tính đạo hàmy=3ax2+2bx+c
- Bước 2:Chia hàm sốychoyta được:
- f[x]=Q[x].f[x]+P[x]vớiP[x]=Ax+Blà hàm số bậc nhất
- Bước 3:Vìf[x1]=f[x2]=0nên:
- {y1=f[x1]=Ax1+By2=f[x2]=Ax2+Bphương trình đường thẳng lày=Ax+B
- Từ các bước trên ta tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc bay=f[x]=ax3+bx2+cx+dlà :
- 2/3[cb2/3a]x+[dbc/9a]
Ví dụ:
Cho hàm sốy=2x3+3[m1]x2+6[m2]x1. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳngy=4x+1
Cách giải:
Ta có :y=6x2+6[m1]x+6[m2]
Hàm số có hai cực trịΔ=[m1]24[m2]>0
[m3]2>0m3
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳngy=4x+1thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
4=2/3[6[m2]9[m1]2/6]=4[m2][m1]2
[m3]2=4[m=1 hoặc m=5]
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ, tung độ
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm[a;y1]và[a;y2]có dạng :x=a
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm[x1;b]và[x2;b]có dạng :y=b
Ví dụ:
Trong mặt phẳngOxycho hai điểmA[7;2]vàB[100;2]. Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểmA;B
Cách giải:
Vì hai điểmA,Bcó cùng tung độ nên
phương trình đường thẳngAB:y=2
III. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
Bài 1:Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a] Đi qua 2 điểm A[-3,2], B [5,-4]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
b] Đi qua A [3,1] song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Vậy PT tổng quát cần tìm là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A[3; 1]
1 = 3.[-2] + b
b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Bài 2:Cho hàm số. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1
Cách giải:
Ta có :
Hàm số có hai cực trị
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
Bài 3:Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A [1;2] và B [2;3]. Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.
Hướng dẫn giải
| Cách 1:Sử dụng định nghĩa | Cách 2:Sử dụng phương trình tổng quát |
Phương trình tham số: Phương trình tổng quát: | Phương trình tham số: Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có: Vậy PT tổng quát cần tìm là: |
Bài 4:Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng:
a] Đi qua điểm A[4; 3], B[2;- 1]
b] Đi qua điểm A[1;- 1] và song song với Ox
Bài giải:
a]. Phương trình đường thẳng [d] qua A[4; 3] và B[2;- 1] có dạng tổng quát là y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số cần xác định.
Vì A[4; 3] d nên ta có phương trình của [d], do đó ta có: 3 = a.4 + b.
Tương tự B[2;- 1] d nên ta có: 1 = a.2 + b
Từ đó ta tìm được phương trình đường thẳng AB là: y = 2x 5.
Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x 5.
b]. y = 1.
Bài 5:Viết phương trình dạng y = ax + b của đường thẳng đi qua hai điểm M[-1;3] và N[1;2]
Bài giải:
Vì đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b nên ta cần xác định các hệ số a và b.
Đường thẳng đó đi qua M[-1;3] và N[1;2], tức là tọa độ M và N thỏa mãn phương trình y = ax + b.
Đường thẳng đi qua M[-1;3] và N[1;2] nên ta có:
-a + b = 3 và a + b = 2
Giải ra ta có : a=-1/2 ; b=5/2
Vậy phương trình đường thẳng là: y = [-1/2]x + 5/2
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].
Ta có:vecto AB = [3 1; 4 2] = [2;2]
Chọn u[1;1] là VTCP của đt[d] [lấy như vậy để tinh gọn tính toán sau này].
vậy VTPT của [d] là n[-1;1].
Phương trình tham số của [d]: x = 1 + t ; y = 2 + t [t thuộc R].
Phương trình tổng quát [d]: [-1][x-1] + 1[y-2] = 0 x y + 1 = 0.
Phương trình chính tắc [d]: [x-1]/[-1] = [y-2]/1.
Phương trình theo hệ số góc:
Hệ số góc của đường thẳng [d] k = [4-2]/[3-1] = 2/2 = 1.
Vậy phương trình đường thẳng[d]: y = 1[x-1] + 2 y = x+1.
Bài 7:Cho Parabol [P]:y=ײ. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc [P] và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Bài giải:
Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc [P] nên ta có tung độy =[1]²=1 =>A[1;1]
Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc [P] nên ta có tung độ y =[2]²=4 B[2;4]
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d:y=ax+b
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nê n ta có:
Thay a=-3 và b=2 vào phương trình đường thẳng d thì d là:y=3x+2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là:y=3x+2
Chú ý:Hai điểm A và B có thể biết trước tọa độ hoặc chưa biết tọa độ ngay, chúng ta cần phải đi tìm tọa độ của chúng.
Vậy là quý thầy cô và các bạn học sinh vừa được chia sẻ cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nhanh nhất. Hi vọng, đây là sẽ là nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nữa bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục