Viết phương trình tổng quát của:. Bài 2 trang 79 SGK Hình học 10 nâng cao – Bài 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Viết phương trình tổng quát của:
a] Đường thẳng Ox;
b] Đường thẳng Oy;
c] Đường thẳng đi qua \[M[{x_0};{y_0}]\] và song song với Ox;
d] Đường thẳng đi qua \[M[{x_0};{y_0}]\] và vuông góc với Ox;
e] Đường thẳng OM, với \[M[{x_0};{y_0}]\] khác điểm O.
a] Đường thẳng Ox đi qua O[0, 0] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n [0;1]\] nên có phương trình tổng quát là:
\[0.[x – 0] + 1.[y – 0] = 0 \Leftrightarrow y = 0\]
b] Đường thẳng Oy đi qua O[0, 0] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n [1;0]\] nên có phương trình tổng quát là:
Quảng cáo\[1.[x – 0] + 0.[y – 0] = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
c] ] Đường thẳng đi qua \[M[{x_0};{y_0}]\] và song song với Ox có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n [0;1]\] nên có phương trình tổng quát là:
\[0.[x – {x_0}] + 1.[y – {y_0}] = 0 \Leftrightarrow y – {y_0} = 0,[{y_0} \ne 0]\]
d] Đường thẳng đi qua \[M[{x_0};{y_0}]\] và vuông góc với Ox có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n [1;0]\] nên có phương trình tổng quát là:
\[1.[x – {x_0}] + 0.[y – {y_0}] = 0 \Leftrightarrow x – {x_0} = 0,[{x_0} \ne 0]\]
e] \[\overrightarrow {OM} [{x_0};{y_0}]\] nên đường thẳng OM có véc tơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow n [{y_0}; – {x_0}]\] .
Phương trình tổng quát của đường thẳng OM là:
\[{y_0}[x – 0] – {x_0}[y – 0] = 0 \Leftrightarrow {y_0}x – {x_0}y = 0\]
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Phương pháp giải: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng A ta cần xác định. Điểm A. Một vectơ pháp tuyến n[a, b] của A. Khi đó phương trình tổng quát của A là a[c – a] + 6[ g – 6] = 0. Chú ý: Đường thẳng A có phương trình tổng quát là a + b + c = 0, nhận m[a; b] làm vectơ pháp tuyến. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thằng kia. Phương trình đường thẳng A qua điểm M có dạng hoặc ta chia làm hai trường hợp: Nếu đường thẳng song song với trục Og, nếu đường thẳng cắt trục O. Phương trình đường thẳng. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A[2; 0], B[0; 4], C[1; 3]. Viết phương trình tổng quát của: a] Đường cao AH. b] Đường trung trực của đoạn thẳng BC. c] Đường thẳng AB. d] Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB. a] Vì AH vuông góc BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH. Ta có BC[1; -1] suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 1.[x – 2] = 0 hay 1 – 3 – 2 = 0. b] Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Gọi I là trung điểm BC khi đó suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC. Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực. c] Phương trình tổng quát của đường thẳng AB. d] Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n[2; 1] do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận m[2; 1] làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2.[x – 1] + 1.[y – 3] = 0 hay 2x + y – 5 = 0. Cách 2: Đường thẳng A song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = 0. Điểm C thuộc A suy ra c = -5. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x + 3 – 5 = 0. .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2 – 2y + 3 = 0 và điểm M[-1; 2]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng A biết: a] A đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3. b] A đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. c] A đối xứng với đường thẳng d qua M. a] Đường thẳng A có hệ số góc k = 3 có phương trình dạng y = 3x + m . Mặt khác MEA = 2 = 3.[-1] + m = m = 5. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng A là y = 3x + 5 hay 30 – 4 + 5 = 0. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng A là y = -2x – 2 hay 20 + y + 2 = 0. c] Cách 1: Ta có –1 – 2.2 + 3 = 0 do đó M < d vì vậy đường thẳng A đối xứng với đường thẳng d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng A có VTPT là m[1; -2]. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng A là 1.[x + 3]- 20g – 2 = 0 hay 3 – 2 + 7 = 0. Cách 2: Gọi A[0; 36 ] là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d, A'[x; g] là điểm đối xứng với A qua M.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M [x0; y0] thuộc ∆ và một véc-tơ pháp tuyến n = [A; B]. Vậy phương trình đường thẳng ∆: A [x − x0] + B [y − y0] = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: Ax + By = C với C = − [Ax0 + By0]. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm M[−1; 5] và có véc-tơ pháp tuyến n = [−2; 3]. Lời giải. Phương trình đường thẳng ∆: −2[x + 1] + 3[y − 5] = 0 ⇔ −2x + 3y − 17 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: −2x + 3y − 17 = 0. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua điểm N[2; 3] và vuông góc với đường thẳng AB với A[1; 3], B[2; 1]. Lời giải. Ta có: AB = [1; −2]. Đường thẳng ∆ qua N[2; 3] và nhận AB = [1; −2] làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng ∆: [x − 2] − 2[y − 3] = 0 ⇔ x − 2y + 4 = 0. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : x − 2y + 4 = 0. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A[−1; 2] và vuông góc với đường thẳng M: 2x − y + 4 = 0. Cách 1: Phương trình đường thẳng d có dạng: x + 2y + C = 0. Vì d đi qua A[−1; 2] nên ta có phương trình: −1 + 2.2 + C = 0 ⇔ C = −3. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng của đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0. Cách 2: Đường thẳng M có một véc-tơ chỉ phương u = [1; 2]. Vì d vuông góc với M nên d nhận u = [1; 2] làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng d: [x + 1] + 2[y − 2] = 0 ⇔ x + 2y − 3 = 0. Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: x = −2t, y = 1 + t và ∆: x = −2 − t, y = t. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đối xứng với ∆ qua ∆. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: x = 1 + 2t, y = −3 − t. a] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆. b] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N [4; 2] và vuông góc với ∆. a] Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u = [2; −1] nên có véc-tơ pháp tuyến là n = [1; 2]. Chọn tham số t = 0 ta có ngay điểm A [1; −3] nằm trên ∆. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 1.[x − 1] + 2. [y − [−3]] = 0 ⇔ x + 2y − 5 = 0 b] Đường thẳng l vuông góc với ∆ nên có vecto pháp tuyến là nl = [2; −1]. Phương trình tổng quát của đường thẳng l là: 2 [x − 4] − 1 [y − 2] = 0 ⇔ 2x − y − 6 = 0 Bài 2. Trong mặt phảng Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc bằng −3 và A [1; 2] nằm trên d. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d. Lời giải. Đường thẳng dcó hệ số góc bằng −3 nên có vec-tơ pháp tuyến là [3; 1]. Đường thẳng d đi qua điểm A [1; 2] và có vec-tơ pháp tuyến là [3; 1] nên có phương trình tổng quát là: 3 [x − 1] + 1 [y − 2] = 0 ⇔ 3x + y − 5 = 0 Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A [2; −5] và nó tạo với trục Ox một góc 60◦. Lời giải. Hệ số góc của đường thẳng d là k = tan 60◦ = √3. Phương trình đường thẳng d là: y = √3 [x − 2] − 5 ⇔ √3x − 3y − 15 − 2√3 = 0. Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: y = 2x + 1, viết phương trình đường thẳng d0 đi qua điểm B là điểm đối xứng của điểm A [0; −5] qua đường thẳng d và song song với đường thẳng y = −3x + 2. Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên ta có: kAB.2 = −1 ⇔ kAB = − 1. Phương trình đường thẳng AB là: y = − 1[x − 0] − 5 ⇔ y = − 1x − 5. Vì A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d nên trung điểm N của chúng sẽ là giao điểm của hai đường thẳng d và AB. Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình: y = 2x + 1, y = − x − 5 ⇔ y = −3x − 17.
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − 3y + 1 = 0 và điểm A [−1; 3]. Viết phương trình đường thẳng d0 đi qua A và cách điểm B [2; 5] khoảng cách bằng 3. Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M [2; 5] và cách đều A [−1; 2] và B [5; 4]. Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là ax + by + c = 0 [a2 + b2 khác −1] [1]. Do M [2; 5] ∈ d nên ta có: 2a + 5b + c = 0 ⇔ c = −2a − 5b. Thay c = −2a − 5b vào [1] ta có phương trình đường thẳng d trở thành: ax + by − 2a − 5b = 0 [2]. Vì d cách đều hai điểm A và B. Trường hợp 1: Với b = 0 thay vào [2] ta được phương trình đường thẳng d là: ax + 0y − 2a − 5.0 = 0 ⇔ ax − 2a = 0 ⇔ x − 2 = 0. Trường hợp 2: Với b = −3a ta chọn a = 1, b = −3 thay vào [2] ta được phương trình đường thẳng d là: 1x − 3y − 2 − 5.[−3] = 0 ⇔ x − 3y + 13 = 0.