Bài tập chuỗi lũy thừa có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm

Nội dung chính Show

Tại      
Vậy miền hội tụ của chuỗi là D    e 3 ,e 3 
   
0   1  
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    
Có R  2  x    1  2, 2   x  1, 3
Xét x   1 (*) trở thành    
  
Xét x  3 (*) trở thành  
  
Vậy miền hội tụ là D    1, 3

Bài 03.04.

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

 

3 2 2

2 1

n n n

n x n n





 





Lời giải:

Có

2/3 1/2 2/3 1/ 1 1 lim lim lim 1 1 2 2 1 2 1 2 2

n n

n n n n n n n n

n n n n

 a  

                          

Vậy bán kính hội tụ là

R 

Bài 03.04.

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

#######  

1 2 2 !!

n x n

 





 

Lời giải:

Có

  1  

1 2 2 !! 1 lim lim. lim. 2 2 2 !!

n n n n

a n n n n a n n n    

       

Vậy bán kính hội tụ là R  

Bài 03.04.

####### Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  

2 1 1

n n

x n

 



       



Lời giải:

Có

2 1 lim lim. 1 1

n n n n

a n n

 a   n n

    

Vậy bán kính hội tụ là R  1

Bài 03.04.

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 3.

n n







Lời giải:

Có

2 2

1 3. 1

n n n n n n

x a x n

 

 

  ,ta xét:

1 lim lim3 n 3 3 n n n n

n R  a 

   

Vậy bán kính hội tụ là R  3

Bài 03.04.

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 2 8 31ln

n n n

n x n



  



Lời giải:

Có

1 0

2 2

ln 8 8 3 1 8 3ln 8 8. lim lim lim 8 1

n n n

n n n n n n n

a n n



  

           

Vậy bán kính hội tụ là R 8.

Bài 03.04.

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 2 3 1

n n n

n x n

  



       



Lời giải:

2 2

2 3 1 2 3 1

2 3 1 1 3

1 2 3 lim lim lim 1 1 1

3 lim 1 1

n n n n n n

n n n n n

a n n

e n

   

  

   



                 

                

Miền hội tụ   3;3

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

0 1



 



Lời giải:

1 1

1 1 2 : lim 1 1 2 1

n n n n n

a n a

a  n n n  a

       

R  1,chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x 1.

Khi x  1 có

n n 1



 

 phân kỳ.

Khi x   1 có

#######  

n n









 là chuỗi đan dấu hội tụ.

Miền hội tụ là [ 1; 1).

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   

####### 

1 2!

n n





 

Lời giải:

Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a 2 n 1 0.

Đặt

2 y  x có chuỗi lũy thừa:

 0  

n n

y n









Có

#######  

  

#######  

#######   

1 1 2 1! : 2 1 2 2 2! 2 1! 2!

n n n

a n n n a n n n



        

lim n n n

 a

  

Miền hội tụ    ; 

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

#######  

####### 3  

2 * 5 3 1

n n









Lời giải:

Ta đặt 3

1 2, 5 3 1

X x a n n n

   

chuỗi (*) trở thành 1

n n n

a X







Ta có:

1 3 1/3 1/ 5 3 1 5 3 5

n n n n n n n

n n a

   

Nên bán kính hội tụ là R = 5

X    5;5   x  2   5;5   x  3;7

Xét x   3 chuỗi (*) trở thành

#######    

3 3 1 0

5 1

5 3 1 3 1

n n

n n n n n

 

 

    

  hội tụ theo Leibniz

Xét x  7 chuỗi (*) trở thành

#######  

3 3 1 0

5 3 1 3 1

n n n n n

 

 

  

  phân kỳ do

3 3 1/

1 1

3 1 3

a n n n

 

(

1 1 3

   )

Vậy miền hội tụ là [ 3, 7)

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

#######  

5 * 3!

n n









Lời giải:

Ta đặt

1 5, 3!

X x a n n n

   chuỗi (*) trở thành 1

n n n

a X







####### Xét (2) có    

0 0

2 2X

n n n

n n

S x X

 

 

  

#######      

#######  

#######    

#######  

#######    

1 1

2 2

1 2X 1 2X .... 2X 1 2X

1 2X 1 lim lim 1 2X 1 2X

1 * 1 2X

n n

n n n

S x

S x S x

S x a b



 

       

      

   

(Vì

1 1 , 2 2

       

)

Xét (1): Thay

X x

 

vào (*):

#######  

1 1 2

1 2X 1 1 2 2

x S x x

       

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  

n n

n x n





      



Lời giải:

Xét 3

n a n

 

Ta có:

3 3 3

1 1 lim lim lim 3

n n n n n n

n a R e n n e

  

                  

Tại      

2 2 2 3 3 3

1 1 1

1 3 3 3

n n n n n n n

n n n

n n n x e x e e n n n

  

  

                           

  

lim n n 1 0 n

a 

  

Vậy miền hội tụ của chuỗi là D    e 3 ,e 3 

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi    

2 2

1 2 * 2 3

n n

n x n





        



Lời giải:

####### Đặt  

2 X  x  2 , X0.

Ta tìm miền hội tụ của chuỗi

2 3

n n

n X n





       



Xét

2 3

n a n

  

có

1 1 lim lim 2 2 3 2

n n n n

n a R   n

     

####### Tại X   2 chuỗi (*) thành    

0 0

1 2 2 1 2 1 2 3 2 3

n n n n n

n n

 

 

                  

 

2 2 lim lim 1 0 2 3

n n n n

n u   n

     

nên chuỗi phân kỳ.

Vậy miền hội tụ theo X là   2, 2

 miền hội tụ x  2  2  2  2  x 2  2

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    

2 *

n n

n x





 

Lời giải:

Ta đặt 2, a

n X  x  n n chuỗi (*) thành 1

n n n

a X







Ta có

1 1 1 lim lim 1 1

n n n an n e R n e



 

           

Tại

 

#######  

1 1

1 2 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n

n n

n x e n e n e

   

 

                                        

 

1 1 1 1 lim lim 1.. 1 0 1

n n n an n e n e e



 

            

Vậy miền hội tụ là

1 1 D , e e

       

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    

1 2 * 3 2

n n

n x n





        



Lời giải:

Đặt

1 2, 3 2

n X x a n

          

chuỗi (*) trở thành 1

n n n

a X





 (**)

Xét

1 1 lim lim 3 3 2 3

n n n n

n a R   n

     

####### Tại X   3 ta được    

1 1

1 3 3 3 1 3 2 3 2

n n n n

n n

 

 

                  

 

Có

3 3 lim lim 1 0 3 2

n n n n

n u   n

    

nên tại X   3 chuỗi không hội tụ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là   3, 3do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là   1, 5

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

#######  

####### 2    

1 1 1 ln

x n n





 

Lời giải:

Đặt

#######  

1 1, ln

X x a n n n

   chuỗi (1) thành 2

n n n

a X





 (2)

Ta có:

#######  

      

2 tan 1 2

1 2ln. ln lim lim lim 1 ln 1 1 2ln 1. 1

Lopi n n n n n

n a n n n

a n n n n

   

     

Với

#######  

tan

1 ln lim lim 1 1 ln 1 1

Lopi

n n

n n R n

 

    



Tại X   1 ta được chuỗi

#######  

####### 2  

1 1 ln

n n n





  (*)

Từ đó ta có:

#######  

    

2 1 2

ln lim lim 1 1 ln 1

n n n n

a n n

  

      chuỗi (*) phân kỳ.

Vậy miền hội tụ của (2) là   1, 1 nên miền hội tụ của (1) là   2, 0

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi

 

#######    

1 1 * 1

n n n

n x n

 



        



Lời giải:

Ta đặt

 1  1 1, 1

n n

n X x a n

           

chuỗi (*) thành 2

n n n

a X







Xét x  3 (*) trở thành

   

0   1  

1 3

2 5 .3 2 5

n n

n n n n n

 

 

   

 

Chuỗi đan dấu với

 

1 0 2 5

a n n

  

và giảm nên hội tụ theo Leibnitz.

Vậy miền hội tụ là D  ( 3, 3]

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    

3 1 * 2 1

n n

n x n





        



Lời giải:

Có R  2  x    1  2, 2   x  1, 3

Xét x   1 (*) trở thành    

1 1 1

3 2 6 2 1 2 1 2 1

n n n n n n n n

n n a n n

  

  

                   

  

Mà

5 2 1. 2 1 2 6 5 55 5/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1

n n n n n n n e n n n

 



                                  

 a n 0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

Xét x  3 (*) trở thành  

1 1 1

3 2 6 2 2 1 2 1

n n n n n n n

n n a n n

  

  

                 

  

 a n 0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

Vậy miền hội tụ là D    1, 3

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    

2 5 *

n n





 

Lời giải:

Có 2

1 1 1 lim lim lim 0 2 2

n n n n n n n an   

  

Khi đó bán kính hội tụ R  0

Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại   5 

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2  

2 3 * 3

n n n n n

x n





      



Lời giải:

Có

1 1 1 , 3 3 3

R x

         

Xét

x   (*) trở thành

#######  

2 2 1 1

9 1 2 1
3 9

n n n n n

n n n

n n

 

 

                          

 

Do chuỗi





      

 và

#######  

2 1

n n







 hội tụ nên

2 1

n n n

n n





          

 hội tụ.

Xét

x  (*) trở thành

2 2 1 1

9 1 2 1
3 9

n n n n

n n n

n n

 

 

                       

 

Do chuỗi





     

 và 2

n n





 hội tụ nên

2 1

n n n

n n





         

 hội tụ.

Vậy miền hội tụ là

1 1 , 3 3

       

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2  

2 3

n x n







 

Lời giải:

Có 2

2 ( 3)

n n

n U x n

   , ta xét: 2

2 lim lim ( 3) 0 ( 3)

n n n n

n U x x   n

     

Nhận thấy

2 3 2

1 ( 3)( 3). ( 3 )( 3)

( 1) ( 2)( 3) 4 5 2

n n n n

U n x n n n x

U n n x n n n

            

Theo dấu hiệu D’lambe có:

 1

n n





 là hội tụ   4  x  2

 1

n n





 là phân kỳ

       

Vậy miền hội tụ của

n n





 là (-4,-2)

Bài 03.04.

####### Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  

1 1 2 1

n n

n x n





        



Lời giải:

Có

1 ( ) ( 1) 2 1

n n n

n U x n

   

Xét

1 1 1 1 2 1 2 1

n n n n n

n n U x x n n

             

Theo dấu hiệu cosi ta có

n n





 là hội tụ

1 lim 1 lim 1 1 2 1

1 2 1 2

n n n n

n U x n

x x

 

      

      

Vậy miền hội tụ của

n n





 là (-1,2)

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n n







Lời giải:

Có

n n

x U n



Mà:

3 1 3

.4.

n n n n

x U x n n

 

Theo dấu hiệu cosi ta có

n n





 là hội tụ

3  x  4  x  4

vậy miền hội tụ của

n n





 là

3 3 (  4, 4)

Bài 03.04.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 1

( 2)

2 1

 







Lời giải:

Có:

2 1 ( 2)

2 1

x U n

   

Với

#######  

n n

x a n

  xét:

#######  

1 1 1 3 3

1 1 lim lim. lim lim 1 1 1 1 1 /

n n n n n n n n n n n

a x n x n x x a n x n n

      

         

Chuỗi

#######  

3 1

n n







 hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R 1.

Tại x  1 chuỗi

#######  

3 1

n n







 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Tại x   1 chuỗi 3 1

n n





 phân kì do

1 1 3



       

Vậy miền hội tụ là ( 1, 1]

Bài 03.04.1.034

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

1 2 1



 



Lời giải:

Với 2 1

x a n

 

xét:

1 lim 1 lim. 2 1 lim 2 2 1 2 1

n n n n n n n

a x n n x x a n x n

    

           

Chuỗi

1 2 1



 

 hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R 1.

Tại x  1 chuỗi

n 2 n 1



 

 phân kỳ do

1 1

2 n 1 2 n

 

mà 1

1 1

2 n n





 phân kỳ.

Tại x   1 chuỗi

#######  

2 1

n n







 hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

Vậy miền hội tụ là [ 1, 1).

Bài 03.04.1.035

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

#######  

2 1

n n









Lời giải:

Với

 

n n

x a n

  xét:

#######  

#######    

1 1 1 2 2

1 lim lim. lim 1 1 1 1

n n n n n n n n n

a x n n x x x a n x n

     

                 

Tại x  1 chuỗi

#######  

2 1

n n







 hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

Tại x   1 chuỗi 2

n n





 hội tụ (do   2  1 )

Vậy miền hội tụ là   1, 1

Bài 03.04.1.036

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:







Lời giải:

Với !

x a n

 xét:

 

1 1! 1 lim lim. lim lim .0 0 1 1! 1 1

n n n n n n n n

a x n x x x a n x n n

     

        

Nên bán kính hội tụ là R  

Vậy miền hội tụ là    , 