Để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và bài thi liên quan đến hàm số thì một kiến thức mà bạn không nên bỏ qua là hàm số lũy thừa. Đây là một chuyên đề vô cùng quan trọng với các bạn học sinh lớp 12. Vậy hàm số này là gì, tập xác định của nó ra sao và bao gồm những dạng bài tập như thế nào? Cùng CMath tìm hiểu tất tần tật mọi thông tin về hàm số trong bài viết sau đây nhé.
Lý thuyết hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa
Cùng CMath tìm hiểu về lý thuyết hàm số lũy thừa cực kỳ quan trọng và bổ ích với các bạn học sinh lớp 12 ngay sau đây nhé.
Khái niệm về hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y=x [R]. Các hàm số có
tập xác định khác nhau, tùy theo :
- Nếu nguyên dương thì tập các định là R.
- Nếu nguyên âm hoặc \=0 thì tập các định là R\{0}.
- Nếu không nguyên thì tập các định là [0;+].
Chú ý: Hàm số y=x có tập xác định là [0;+], hàm số y=3x có tập xác định R, trong khi đó các hàn y=x12, y=x13 đều có tập xác định [0;+]. Vì vậy y=x và y=x12 [hay y=3x và y=x13] là những hàm số khác nhau.
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
- Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x [0;+] và y’=[x]’=x-1.
- Nếu hàm số u=u[x] nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số y=u[x] cũng có đạo hàm trên J và y’=[u[x]]’=u-1[x]u'[x].
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số y=xn có tập xác định là R và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành xR,[xn]’=nxn-1 và xJ,[un[x]]’=nun-1[x]u'[x] nếu u=u[x] có đạo hàm trong khoảng J.
Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Trong trường hợp số mũ nguyên âm, hàm số y=xn có tập xác định là R\{0} và có đạo hàm tại mọi x0. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành x0,[xn]’=nxn-1 và xJ,[un[x]]’=nun-1[x]u'[x] nếu u=u[x]0 có đạo hàm trong khoảng J.
Nội dung kiến thức về hàm số lũy thừa
Đạo hàm của căn thức
Hàm số y=nx có thể xem là mở rộng của hàm số y=x1n [tập xác định của y=nx chứa tập xác định của y=x1n và trên tập xác định của y=x1n thì hai hàm số trùng nhau.
Khi n lẻ thì hàm số y=nx có tập xác định trên R. Trên khoảng [0;+] ta có y=nx\=x1n và [x1n]’=1nx1n-1, do đó [nx]’=1nnxn-1.
Công thức này đúng với cả x0 tính theo công thức: [nx]’=1nnxn-1.
Tóm lại, ta có [nx]’=1nnxn-1 đúng với mọi x làm cho 2 vế có nghĩa.
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra được: nếu u=u[x] là là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u[x]>0,xJ,[nu[x]]’=u'[x]nnun-1[x].
Một số dạng toán về hàm số lũy thừa thường gặp nhất
Dạng 1: Bài toán về tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đầu tiên chúng ta sẽ xác định số mũ của hàm số.
- Bước 2: Điều kiện để hàm số xác định.
- nguyên dương: D=R.
- nguyên âm hoặc \=0: D=R\{0}.
- không nguyên: D=[0;+].
- Bước 3: Giải bất phương trình ở trên để tìm tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Bài toán về tính đạo hàm của hàm số
Phương pháp giải:
- Bước 1: Áp dụng các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm các hàm số đã cho.
[uv]’=u’+v’;[uv]’=u’v+uv’;[uv]’=u’v-uv’v2
- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: phân thức, hàm đa thức, logarit, hàm mũ, lũy thừa,…
- Bước 3: Bài toán về tính toán, đưa ra kết luận.
Dạng 3: Tìm mối quan hệ của các số mũ của các hàm số lũy thừa khi biết đồ thị của chúng.
Phương pháp giải: quan sát đồ thị hàm số và nhận xét tính nghịch biến, đồng biến và các điểm đi qua sau đó suy ra tính chất của số mũ.
Nội dung kiến thức hàm số lũy thừa
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Hàm số y=[x-2]12 có tập xác định là:
- D=[2;+].
- D=R.
- D=[2;+].
- D=R\{0}.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Vì 12 không nguyên nên hàm số y=[x-2]12 xác định khi x-2>0x>2.
Tập xác định của hàm số là D=[2;+].
Bài tập 2: Cho hàm số y=x4. Tìm mệnh đề sai:
- Đồ thị hàm số y=x4 có một trục đối xứng.
- Đồ thị hàm số y=x4 đi qua điểm [1;1].
- Đồ thị hàm số y=x4 có hai đường tiệm cận.
- Đồ thị hàm số y=x4 có một tâm đối xứng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
- Tập xác định: D=R\{0}
Ta có y=x-4\=1x4xD-xD và y[-x]=1[-x]4\=1x4\=y[x] nên hàm số đã cho là hàm số chẵn Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng A đúng.
- Đồ thị hàm số đi qua điểm [1;1] B đúng.
- Ta có:xy=0TCN:y=0;x0+y=+TCĐ:x=0. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận C đúng.
Bài tập 3: Tập xác định của hàm số y=[x2-5x+6]-2019 là:
- [-;2][3;+].
- [2;3].
- R\{0}
- [-;2][3;+].
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì -2019 là số nguyên âm nên hàm số y=[x2-5x+6]-2019 xác định khi x2-5x+60x2x3.
Bài tập 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m[-2018;2018] để hàm số y=[x2-2x-m+1]2018 có tập giá trị là D=R.
- 2017.
- Vô số
- 2018.
- 2016.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì 2018 không nguyên nên hàm số y=[x2-2x-m+1]2018 có tập xác định là D=R khi và chỉ khi x2-2x-m+1>0,xRx2-2x+1>m, xR[x-1]2\>m,xRm0 nên hàm số đồng biến trong khoảng [0;+].
Bài tập 6: Tính đạo hàm của hàm số y=[x2+1]32.
- 32[x2+1]12.
- 34x14.
- 32[2x]12.
- 3x[x2+1]12.
Hướng dẫn giải
Chon D
y’=[[x2+1]32]’=32[x2+1]12.[x2+1]’=3x[x2+1]12.
Bài tập 7: Cho hàm số y=[2x2+4x+1]3. Khi đó đạo hàm y'[0] bằng
- 43.
- 0.
- 123.
- 28.
Hướng dẫn giải
Chọn A
y=[2x2+4x+1]3y'[x]=3.[4x+4].[2x2+4x+1]3-1y'[0]=43.
Học online cùng CMath Education
Học online là phương pháp học giúp cho các bạn học sinh rèn luyện được tính tự lập và chủ động thời gian. Nếu quý phụ huynh đang tìm môi trường luyện thi đại học chất lượng thì đừng bỏ qua CMath Education.
CMath có lịch trình các khóa học và kỳ thi rõ ràng, chi tiết. Sau một thời gian học, học sinh sẽ được kiểm tra định kỳ, kết quả sẽ được thông báo vào mỗi buổi học và kỳ thi để phụ huynh nắm được kỹ năng và khả năng của các bạn học sinh. Phụ huynh và học sinh có thể hoàn toàn yên tâm về chất lượng giáo dục cũng như đội ngũ giáo viên, trợ giảng, chủ nhiệm lớp. Đội ngũ giáo viên tại đây là những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm trong lĩnh vực giáo dục. Các chương trình đào tạo được thiết kế đặc biệt, chuyên sâu, độc quyền, được chọn lọc và biên soạn từ cơ bản đến nâng cao phù hợp với khả năng học tập của từng học sinh.
Kết luận
Chuyên đề hàm số lũy thừa được xem là 1 trong những kiến thức quan trọng, xuất hiện trong rất nhiều bài kiểm tra và thậm chí là bài thi trung học phổ thông của các bạn. Bài tập về hàm số lũy thừa cũng thường được xếp vào các bài tập vận dụng và vận dụng cao. Vì vậy các bạn học sinh cần ôn luyện thật kỹ và làm nhiều bài tập dạng này để nắm vững kiến thức.
Nếu các bạn học sinh muốn học tốt các kiến thức về hàm số nói riêng và môn Toán học nói chung thì hãy nhanh tay đến với CMath. Các bạn sẽ nhận được lộ trình ôn luyện môn Toán và ôn thi trung học phổ thông cụ thể, đảm bảo đạt được điểm số cao và rèn luyện tư duy Toán học.
Trên đây là tất tần tật về hàm số lũy thừa, các dạng bài tập cũng như những ví dụ mà các bạn không nên bỏ qua. Hãy ôn luyện thật kỹ và làm nhiều bài tập để củng cố kiến thức bạn nhé.