Đường tròn là một trong những hình học khó với nhiều dạng bài tập khác nhau. Để có thể hiểu được đầy đủ về hình học này cần xác định được lý thuyết cũng như bài tập về đường kính và dây của đường tròn. Chính vì vậy hãy cùng Itoan theo dõi bài giảng sau với những bài tập thông dụng về mảng kiến thức này để các bạn học sinh có thể áp dụng.
I. Lý thuyết về đường kính và dây của đường tròn:
1. Cung và dây cung của đường tròn:
Cho đường tròn có tâm là O và có 2 điểm phân biệt là A và B nằm trên đường tròn thì 2 điểm này sẽ chia đường tròn làm 2 phần. Đối với 2 phần này, mỗi phần sẽ được xem là một cung.
Trong đó:
- 2 điểm A và B được gọi là 2 mút của cung.
- Đoạn thẳng nối liền 2 mút của cung được gọi là dây cung [dây].
- Dây cung đi qua tâm của đường tròn được gọi là đường kính.
Ngoài ra trong một đường tròn còn có mối quan hệ giữa đường kính và dây cung như sau: Đường kính sẽ dài gấp đôi bán kính.
2. So sánh giữa độ dài dây cung và đường kính:
Định lý 1:
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.
Xét một đường tròn tâm O, bán kính R, [O , R] ta có:
Chứng minh:
Nếu đường kính của đường tròn là dây AB thì AB = 2R
Nếu đường kính của đường tròn không phải là dây AB.
Xét ΔOAB, có: AB < OA + OB = R + R = 2R
⇒ Vậy trong một đường tròn tâm O, bán kính R, [O , R] ta luôn có AB ≤ 2R
3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn:
Định lý 2:
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính cùng với dây đường tròn được định nghĩa như sau: Nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó.
Chứng minh:
Nếu đường kính của đường tròn là CD thì hiển nhiên AB sẽ đi qua trung điểm O [tâm] của đường kính CD.
Nếu đường kính của đường tròn không phải là CD
Ta gọi I là giao điểm giữa AB và CD. Khi đó ΔOCD có OD = OC = R
⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O [Do OC = OD = R]
⇒ Đường cao của ΔOCD là OI và cũng là đường trung tuyến
⇒ ID = IC [Hay I là trung điểm của CD]
Vậy nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó. Đây cũng chính là định lý quan trọng trong toán 9 đường kính và dây của đường tròn cần nắm vững.
Định lý 3:
- Nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây và không đi qua tâm trong 1 đường tròn thì vuông góc với dây đó.
Chứng minh:
Gọi I là giao điểm của đường kính AB và dây CD.
⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O [Do OC = OD = R]
Mà ta có OI là trung tuyến của ΔOCD nên đồng thời cũng là đường cao của tam giác.
⇒ Vậy OI ⊥ CD tại điểm I.
Lưu ý:
- Trong quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây đường tròn, nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây thì có thể sẽ không vuông góc với đó.
Giả sử 2 đường kính của đường tròn [O , R] là AB và CD.
Khi đó ta có CD cũng là 1 dây cung của đường tròn tâm O.
Mà O ∈ CD đồng thời OC = OD [do CD là đường kính của đường tròn tâm O]
⇒ O chính là trung điểm của CD.
⇒ Khi đó, đường kính AB sẽ đi qua trung điểm O của CD nhưng đường kính sẽ không vuông góc với dây đường tròn.
II. Bài tập đường kính và dây của đường tròn sbt:
Trên đây là bài giảng về đường kính và dây của đường tròn, để củng cố lại lý thuyết của bài học, dưới đây là một số bài toán cơ bản về dạng kiến thức này giúp các em hệ thống hóa lại kiến thức cho quá trình ôn tập cũng như luyện thi được hiệu quả.
Bài tập 1: [Bài 15/SBT Tập 1, Toán 9, trang 158]
Cho ΔABC, đường cao CK và BH. Chứng minh rằng:
- B, C, H, K là 4 điểm không cùng thuộc 1 đường tròn.
- HK < BC.
Bài tập 2: [Bài 16/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159]
Cho tứ giác ABCD có góc B = góc B = 90⁰
- Chứng minh A, B, C, D là 4 điểm cùng thuộc trên 1 đường tròn.
- So sánh độ dài của cung AB và cung BD. Nếu như AC = BD thì ABCD là tứ giác gì? Tại sao?
Bài tập 3: [Bài 17/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159]
Cho nửa đường tròn [O,AB] [Tâm O, đường kính AB] và dây EF không cắt với đường kính. Gọi K và I lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và A đến dây EF. Chứng minh IE = KF.
Bài giảng đường kính và dây của đường tròn trên đã cung cấp kiến thức về lý thuyết cũng như các dạng bài tập cơ bản về bài học này. Hy vọng đây sẽ là những thông tin bổ ích dành cho các bạn học sinh và quý phụ huynh có nhu cầu giảng dạy và ôn tập cho con em của mình. Đừng quên thường xuyên truy cập Itoan để cập nhật thêm những kiến thức môn học khác nhé!
Giải Toán 9 bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 103
- Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 104
- Bài 10 [trang 104 SGK Toán 9 Tập 1]
- Bài 11 [trang 104 SGK Toán 9 Tập 1]
Giải bài tập Toán lớp 9 bài 2: Đường kính và dây của đường tròn. Đây là tài liệu tham khảo hay được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho bài giảng sắp tới, đồng thời giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo
Bài tiếp theo
- Giải bài tập Toán lớp 9 bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất
- Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài: Ôn tập Chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông
- Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 103
Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.
Lời giải
O là trung điểm của CD
AB đi qua trung điểm của CD nhưng AB không vuông góc với CD
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 104
Cho hình 67. Hãy tính độ dài dây AB, biết OA = 13 cm, AM = MB, OM = 5 cm.
Lời giải
OM là 1 phần đường kính đi qua trung điểm của AB
⇒ OM ⊥ AB
Xét tam giác OAM vuông tại M có:
Bài 10 [trang 104 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
a] Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b] DE < BC.
Lời giải:
a] Gọi M là trung điểm của BC.
=> ME = MB = MC = MD
Do đó bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn tâm M. [đpcm]
b] Trong đường tròn tâm M nói trên, ta có DE là dây, BC là đường kính nên DE < BC.
Bài 11 [trang 104 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho đường tròn [O] đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
Lời giải:
Kẻ OM ⊥ CD.
Vì AH // BK [cùng vuông góc HK] nên tứ giác AHKB là hình thang.
Hình thang AHKB có:
AO = OB [bán kính].
OM // AH // BK [cùng vuông góc HK]
=> OM là đường trung bình của hình thang.
=> MH = MK [1]
Vì OM ⊥ CD nên MC = MD [2]
Từ [1] và [2] suy ra CH = DK. [đpcm]
Trên đây VnDoc đã hướng dẫn cho các bạn học sinh bài 2 Toán 9: Đường kính và dây của đường tròn. Với lời giải chi tiết các bạn có thể so kết quả của mình từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác với VnDoc để có thêm nhiều tài liệu chất lượng miễn phí nhé
- Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Giải bài tập Toán 9 bài: Ôn tập Chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông
....................................
Ngoài Giải bài tập Toán lớp 9 bài 2: Đường kính và dây của đường tròn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt