Bài tập hình học về hình chóp lớp 11
|
Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (α) và (β) - Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung của (α) và (β) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng **Bài tập :
a A b β α k S I D O B C A J C B E N P D M A Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP) 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA. Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau : a. mp ( I,a) và mp (SAC ) b. mp ( I,a) và mp (SAB ) c. mp ( I,a) và mp (SBC ) Giải a. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có:• I ∈ SA mà SA ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC )
Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) là CI L A B J K C O I S MICB DNATrong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD - E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) - E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) ⇒ E là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD - F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN) ⇒ F ∈ ( AMN) - F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD) ⇒ F ∈ ( BCD) ⇒ F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến của mp ( AMN) và (BCD ) b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB - P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P ∈ (DMN ) - P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P ∈ (ABC) ⇒ P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC - Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q ∈ ( DMN) - Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q ∈ ( ABCA) ⇒ Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC ) Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( α ) Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( α ) - Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng ( α ) Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (α) và mp (β) ⊃ a Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (α) và mp (β) dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : 1. Trong mp ( α ) cho tam giác ABC. Một điểm S không thuộc ( α ). Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB. a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ( α ) Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN - E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC) - E ∈ MN Vậy : E = MN ∩ (SPC ) b a A β α A M B D P E C N S α Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN - ( SAB) ∩ (SPC ) = SP - Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) Vậy : E = MN ∩ (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp ( α ) Cách 1 : Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN - D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN - ( SAB) ∩ (α) = AB - Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN ∩ AB D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) D ∈ MN Vậy : D = MN ∩ (α) 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải
K∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) ⇒ K ∈( ABM ) ⇒ K là điểm chung của ( SBD) và (ABM ) ⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK
Trang 5 M A D O C B S K N QACPDI NBMSVậy: E = BC ∩ ( IHK) 6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ). a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF ) N M F E K D C B A S Giải a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB ∩ DE
NKAMED F CBS
P ∈ MP mà MN ⊂ (MNP) ⇒ P ∈ (MNP) P ∈ SD mà SD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) ⇒ P là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) ⇒ (MNP) ∩ (SBD) = NP
IQPNMODCBASJ I B D C N K M A Vậy: Q = MN ∩ (ABO) b. Tìm giao điểm của AO và (BMN ) :
Q ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ Q ∈ (SBD) Vậy: Q = IK ∩ (SBD) b. Tìm giao điểm của SD và (IJK ) :
N F M Q P K J I C B D A S Vậy: N = SD ∩ (IJK) c. Tìm giao điểm của SC và (IJK ) :
12 hình chóp S. Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :
Trang 11 PIQO MDNCBAMNB CN'E DM'IOAS⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE
M K E F L A D C B O J I S
J∈ SC K J I S C M L N B A Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 2. Cho hình chóp S. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy trên AB , AD và SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN ∩ DC F = MN ∩ BC Trong (SCD) , gọi Q = EP ∩ SD Trong (SBC) , gọi R = FP ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ). Xét 2 .trường hợp : a. M ở giữa C và D b. M ở ngoài đoạn CD Giải a. M ở giữa C và D : Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN
4. Cho hình chóp S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SC Trong (SAD), gọi P = EM ∩ SA Trong (ABCD), gọi F = MN ∩ BC Trong (SBC), gọi R = FQ ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP M N L B C D A K H M L H K A D C B R P Q A N E D C B F M S Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ : Bài tập : 5. Cho hình chóp S .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Giả sử AD và BC không song song. a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S Giải a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK 6. Cho hình chóp S.ABCD tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N. a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) : - Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN - Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI - Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : - Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC - Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO - Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC E ∈ SC Trang 17 P S A O I M' E D N' C B N M Q I K J M A N D C B S §1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONGDạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng một trong các cách sau : - Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung - Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành , định lý talet ... ) - Sử dụng các định lý - Chứng minh bằng phản chứng Bài tập : 1. Cho hình chóp S với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD. a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S Giải a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : Trong tam giác SAB, ta có : A’B’// 2 1 AB Trong tam giác SCD, ta có : C’D’// 2 1 CD Mặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’ Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S : Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD) Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN 2. Cho hình chóp S với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN) c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD. Tứ giác SABI là hình gì? Giải a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang ) NMSABD CA' B 'D' C'I E S B C M N P D A Vậy : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN) :
Ta có : SCD CDABSI SAB SCD //// CD / / AB )( CD )( AB )( (SAB) SI ⇒ ⊂ ⊂ ∩= ( theo định lí 2) Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB) M là trung điểm AB ⇒ SI // 2MN Mà AB 2 Do đó : SI //AB Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải Gọi E là trung điểm AB Ta có : ∈ ∈ DEJ CEI ⇒ IJ và CD đồng phẳng Do đó : 3 1 ED EJ EC EI (tính chất trọng tâm) Vậy : IJ // CD 4. Cho hình chóp S có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 3 2 SB.
|
