- Explore Documents
Categories
- Academic Papers
- Business Templates
- Court Filings
- All documents
- Sports & Recreation
- Bodybuilding & Weight Training
- Boxing
- Martial Arts
- Religion & Spirituality
- Christianity
- Judaism
- New Age & Spirituality
- Buddhism
- Islam
- Art
- Music
- Performing Arts
- Wellness
- Body, Mind, & Spirit
- Weight Loss
- Self-Improvement
- Technology & Engineering
- Politics
- Political Science All categories
100% found this document useful [1 vote]
2K views
4 pages
Tìm đa thức tối tiểu của một tự đồng cấu.
Original Title
Tìm đa thức tối tiểu.pdf
Copyright
© Attribution Non-Commercial [BY-NC]
Available Formats
PDF, TXT or read online from Scribd
Share this document
Did you find this document useful?
100% found this document useful [1 vote]
2K views4 pages
Tìm đa thức tối tiểu PDF
TÌM ĐA THỨ
C T
Ố
I TI
Ể
U Nguy
ễ
n Minh Trí.
Trong bài này, ta s
ẽ
có m
ột cách khác để
tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a m
ộ
t ma tr
ậ
n vuông hay m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u mà không nh
ấ
t thi
ế
t ph
ải tìm đa thức đặc trưng.
Ta nh
ắ
c l
ại định nghĩa đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
- Trong bài này ta xem
V
là m
ộ
t
K
-
không gian vectơ hữ
u h
ạ
n chi
ề
u v
ớ
i
dim .
V n
Định nghĩa
1:
Cho
:
f V V
là m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u tuy
ến tính. Đa thứ
c chu
ẩ
n t
ắ
c có b
ậ
c nh
ỏ
nh
ấ
t nh
ậ
n
f
làm nghi
ệm đượ
c g
ọi là đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
.
f
Kí hi
ệ
u
[ ].
f
m x
Ta nh
ắ
c l
ạ
i r
ằng, đa thứ
c chu
ẩ
n t
ắc là đa thứ
c có h
ệ
s
ố
cao nh
ấ
t b
ằ
ng 1. Gi
ả
s
ử
[ ] [ ]
f
m x K x
là đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
, khi đó ta có
[ ] 0
f
m f
[đồ
ng c
ấ
u không]. T
ứ
c là
[ ][ ] 0
f
m f v
v
ớ
i m
ọi vectơ
.
v V
Ta có b
ổ
đề
sau:
B
ổ
đề
2:
Cho
:
V V
là m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u và
1 2
{ , ,..., }
n
B e e e
là m
ột cơ sở
c
ủ
a
.
V
Ta có
là đồ
ng c
ấ
u không khi và ch
ỉ
khi
[ ] 0
i
e
v
ớ
i
1,2,..., .
i n
Ch
ứ
ng minh.
N
ế
u
là đồ
ng c
ấ
u không thì hi
ể
n nhiên ta có
[ ] 0
i
e
v
ớ
i
1,2,..., .
i n
Ngượ
c l
ạ
i, n
ế
u ta có
[ ] 0
i
e
v
ớ
i
1,2,..., .
i n
Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh
[ ] 0
v
v
ớ
i m
ọ
i
.
v V
Vì
1 2
{ , ,..., }
n
B e e e
là m
ột cơ sở
c
ủ
a
V
nên
1 1
...
n n
v k e k e
v
ớ
i
, 1,2,..., .
i
k K i n
Khi đó
1 1 1 1
[ ] [ ... ] [ ] ... [ ] 0.
n n n n
v k e k e k e k e
Như vậy ta có điề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Do đó, để
ch
ứ
ng minh m
ột đồ
ng c
ấu là đồ
ng c
ấ
u không, ta không c
ầ
n thi
ế
t ph
ả
i ch
ứ
ng minh
ả
nh c
ủ
a m
ọi vectơ đề
u b
ằ
ng 0 mà ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
ả
nh c
ủa các vectơ trong cơ
s
ở
là vectơ không.
Để
tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
,
f
ta đưa ra khái niệm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u liên k
ế
t v
ớ
i m
ột vectơ.
Định nghĩa
3:
Cho
:
f V V
là m
ộ
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u tuy
ế
n tính và
v
là m
ột vectơ củ
a
.
V
Đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
,
v
kí hi
ệ
u
[ ],
v
m x
là đa thứ
c chu
ẩ
n t
ắ
c có b
ậ
c nh
ỏ
nh
ấ
t sao cho
[ ][ ] 0.
v
m f v
Để
tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
v
ta c
ầ
n xét h
ệ
các vectơ
2 3
, [ ], [ ], [ ],...
v f v f v f v
đế
n khi nào ta có m
ộ
t h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì ta s
ẽ
tìm được đa thứ
c chu
ẩ
n t
ắ
c c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ
4:
Cho ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
4 4
:
f
xác định như sau
[ , , , ] [3 - , ,3 5 -3 ,4 - 3 - ].
f x y z t x y x y x z t x y z t
Tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
[1,0,0,0].
v
Ta có:
2
[ ] [3,1,3,4], [ ] [3,1,3,4] [8,4,12,16].
f v f v f
Khi đó
2
[ ] 4 [ ] 4 0.
f v f v v
Do đó đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
[1,0,0,0]
v
là
2
4 4.
x x
Ta d
ễ
dàng ch
ứng minh đượ
c nh
ậ
n xét sau d
ựa vào định nghĩa đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
v
. N
ế
u
[ ]
v
m x
đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i
v
và
[ ]
p x
là đa thứ
c th
ỏ
a
[ ][ ] 0
p f v
thì
[ ]
v
m x
là ướ
c c
ủ
a
[ ]
p x
. Gi
ả
s
ử
[ ]
i
m x
là các đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ới vectơ
i
e
v
ớ
i
1,2,..., .
i n
Ta bi
ế
t
[ ]
f
m x
là đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
do đó
[ ][ ] 0
f i
m f e
v
ớ
i
1,2,..., .
i n
T
ừ
nh
ậ
n xét trên ta suy ra
[ ]
f
m x
là b
ộ
i chung c
ủ
a các
[ ].
i
m x
Ta s
ẽ
ch
ứ
ng minh
[ ]
f
m x
là b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủa các đa thứ
c
[ ].
i
m x
Gi
ả
s
ử
ta có đa thứ
c
[ ]
q x
là b
ộ
i c
ủa các đa thứ
c
[ ]
i
m x
, khi
đó
[ ][ ] 0
i
q f e
v
ớ
i m
ọ
i
1,2,..., .
i n
Theo B
ổ
đề
2, ta có
[ ]
q f
là đồ
ng c
ấ
u không và do
đó
[ ]
q x
chia h
ế
t cho
[ ].
f
m x
Như vậ
y,
[ ]
f
m x
là b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủa các đa thứ
c
[ ].
i
m x
Ví d
ụ
5:
Cho ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
4 4
:
f
xác định như sau
[ , , , ] [3 - , ,3 5 -3 ,4 - 3 - ].
f x y z t x y x y x z t x y z t
Tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
.
Ta ch
ọn cơ sở
chính t
ắ
c c
ủ
a
4
là
1 2 3 4
[1,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,1,0], [0,0,0,1].
e e e e
Ta l
ần lượt tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i các
.
i
e
T
ừ
ví d
ụ
4, ta có đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i các
1
e
là
2 2
4 4 [ 2] .
x x x
Đố
i v
ớ
i
2
[0,1,0,0]
e
ta có
22 2
[ ] [ 1,1,0, 1], [ ] [ 4,0,0, 4]
f e f e
suy ra
22 2 2
[ ] 4 [ ] 4 0.
f e f e e
Do đó, đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i các
2
e
là
2 2
4 4 [ 2] .
x x x
Đố
i v
ớ
i
3
[0,0,1,0]
e
ta có
23 3
[ ] [0,0,5,3], [ ] [0,0,16,12]
f e f e
suy ra
23 3 3
[ ] 4 [ ] 4 0.
f e f e e
Do đó, đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i các
3
e
là
2 2
4 4 [ 2] .
x x x
Đố
i v
ớ
i
4
[0,0,0,1]
e
ta có
24 4
[ ] [0,0, 3, 1], [ ] [0,0,12, 8]
f e f e
suy ra
24 4 4
[ ] 4 [ ] 4 0.
f e f e e
Do đó, đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
liên k
ế
t v
ớ
i các
4
e
là
2 2
4 4 [ 2] .
x x x
V
ậy đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
f
là
2
[ 2] .
x
Để
tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông
A
c
ấ
p
n
v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
thu
ộc trườ
ng
,
K
ta
cũng làm tương tự
. G
ọ
i
1 2
, ,...,
n
e e e
là các vectơ [cột] cơ sở
chính t
ắ
c c
ủ
a
.
n
K
Ta tìm các
đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u liên k
ế
t v
ớ
i
i
e
b
ằ
ng cách xét h
ệ
các vectơ cộ
t
2
, , ,...
i i i
e Ae A e
đến khi nào ta đượ
c m
ộ
t h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ến tính. Khi đó, bộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủa các đa
th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u liên k
ế
t v
ới các vectơ
i
e
chính là đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a ma tr
ậ
n
.
A
Bài t
ậ
p áp d
ụ
ng: Bài 1
. Tìm đa thứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a ma tr
ậ
n