Bài tập về cát tuyến đường tròn lớp 10 năm 2024

Tài liệu gồm 11 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tiếp tuyến, cát tuyến, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc.

NHỮNG TÍNH CHẤT CẦN NHỚ 1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB CD KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD. 2. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A B C D thuộc một đường tròn. 3. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC MA MB MO R 2 2 2. 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD H là trung điểm CD thì năm điểm K A H O B nằm trên một đường tròn. 5. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD thì AC BC AD BD. Ta có: AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA. Tương tự ta cũng có: BC KC BD KB mà KA KB nên suy ra AC BC AD BD. Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: AC BC AD BD và CA DA CB DB. NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

• Tài Liệu Toán Ôn Thi Vào Lớp 10

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Phương trình đường tròn là một trong những phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 10 nói riêng và toán THPT nói chung. Bởi vậy, VUIHOC đã viết bài viết này nhằm củng cố lý thuyết cùng với các dạng bài tập rất hay về phương trình đường thẳng nhằm giúp các em nắm bắt kiến thức và học tập dễ dàng hơn. Để học thêm được nhiều các kiến thức hay và thú vị về Toán học 10 cũng như Hoá học THPT thì các em hãy truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô VUIHOC ngay bây giờ nhé!

Với loạt Phương trình đường tròn và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Phương trình đường tròn và cách giải bài tập

1. Lí thuyết tổng hợp.

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Ta có phương trình đường tròn: (x-a)2 + (y-b)2 = R2

- Nhận xét:

+ Phương trình đường tròn (x-a)2 + (y-b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 trong đó c = a2 + b2 - R2

+ Ngược lại, phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 - c2 > 0. Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R =

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho điểm M(x0;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b) và bán kính R. Gọi đường thẳng

là tiếp tuyến với (C) tại M. Phương trình của đường tiếp tuyến là: (x0-a)(x-x0) + (y0-b)(y-y0) =0

2. Các dạng bài.

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Phương pháp giải:

Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề bài cho:

Từ phương trình (x-a)2 + (y-b)2 = R2 ta có: tâm I (a; b), bán kính R

Từ phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ta có: tâm I (a; b), bán kính R =

Cách 2: Biến đổi phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 về phương trình (x-a)2 + (y-b)2 = R2 để tìm tâm I (a; b) , bán kính R.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 - 6x + 10y - 2 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

I(-3;5)

R =

\= \= 6

Vậy đường tròn có tâm I (3; -5) và bán kính R = 6.

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình 4x2 + 4y2 - 4x + 8y - 59 = 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

4x2 + 4y2 - 4x + 8y - 59 = 0

x2 + y2 - x + 2y - \= 0

x2 - x + y2 + 2y - \= 0

x2 - x + + y2 + 2y + 1 - 16 = 0

+ (y+1)2 = 16

+ (y+1)2 = 42

Vậy đường tròn có tâm I

và bán kính R = 4.

Dạng 2: Cách viết các dạng phương trình đường tròn.

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của đường tròn (C)

- Viết phương trình đường tròn dưới dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2

Cách 2:

- Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0

- Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn.

Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I đi qua hai điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I (1; -3) và đi qua điểm O (0; 0).

Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua điểm O (0; 0) nên ta có: IO = R =

\=

Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R =

, ta có phương trình đường tròn: (x-1)2 + (y+3)2 = 1.

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A (-1; 3), B (3; 5) và C (4; -2).

Lời giải:

Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0

Đường tròn đi qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình:

(-1)2 + 32 - 2a.(-1) - 2b.3 + c = 0

2a - 6b + c = -10 (1)

Đường tròn đi qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình:

32 + 52 - 2a.3 - 2b.5 + c = 0

-6a - 10b + c = -34 (2)

Đường tròn đi qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình:

42 + (-2)2 - 2a.4 - 2b.(-2)+ c = 0

-8a + 4b + c = -20 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

Ta có phương trình đường tròn:

x2 + y2 - 2.

x - 2.y - \= 0

x2 + y2 - x - y - \= 0

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường tròn và đường thẳng.

Phương pháp giải:

- Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1, bán kính R1 và đường tròn (C2) có tâm I2, bán kính R2.

+ Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .

+ Nếu thì I1I2 = R1 + R2 hai đường tròn tiếp xúc ngoài

+ Nếu I1I2 = |R1 - R2| thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm (với R1 > R2 ).

- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng:

Cho đường tròn (C) tâm I (x0;y0) có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 = R2 hoặc x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 và đường thẳng

có phương trình ax + by + c = 0

+ Tính khoảng cách d (I,

) từ tâm I đến đường thẳng theo công thức:

d(I,

) =

+ Tính bán kính R của đường tròn (C).

+ So sánh d (I,

) với R :

Nếu d (I,

) = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C).

Nếu d (I,

) > R thì đường thẳng không giao với đường tròn (C).

Nếu d (I,

) < R thì đường thẳng giao với đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = 32. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn (C).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn x2 + y2 = 32 có:

Tâm I (0; 0)

Bán kính R =

Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – 1 = 0

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ là :

d (I, d’) =

< R = 4

Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y-1)2 = 25 và đường tròn (C’) có phương trình (x-6)2 + (y-5)2 = 18. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C’).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) là (x-1)2 + (y-1)2 = 25, ta có:

Tâm I1(1;1), bán kính R1 =

\= 5

Xét phương trình đường tròn (C’) là (x-6)2 + (y-5)2 = 18, ta có:

Tâm I2(6;5), bán kính R2 =

Ta có:

R1 + R2 = 5 + 3

R1 - R2 = 5 - 3

R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2

Vậy hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm.

Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn.

Phương pháp giải:

- Tiếp tuyến tại một điểm M(x0;y0) thuộc đường tròn. Ta có:

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 - a(x+x0) - b(y+y0) + c = 0

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là: (x-a)(x0-a) + (y-b)(y0-b) = R2

- Tiếp tuyến vẽ từ một điểm N(x0;y0) cho trước nằm ngoài đường tròn.

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

y-y0 = m(x-x0)

mx - y - mx0 + y0 = 0 (1)

+ Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

- Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

+ Phương trình của đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết)

kx – y + m = 0 (2)

+ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M (3; 4) biết đường tròn có phương trình là (x-1)2 + (y-2)2 = 8.

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 2) và bán kính R =

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (3; 4) là:

(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0

3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0

2x + 2y – 14 = 0

x + y – 7 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y + 18 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1; 1).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 8y + 18 = 0

Ta có tâm I (2; -4) và bán kính R =

Xét điểm A (1; 1) có:

12 + 12 - 4.1 + 8.1 + 18 # 0

Điểm A không nằm trên đường tròn (C)

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k là

: y = k(x – 1) + 1 kx – y – k + 1 = 0

Để đường thẳng

là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng phải bằng bán kính R.

Ta có: d (I,

) = R

|k+5| =

k2 + 10k + 25 = 2k2 + 2

k2 - 10k - 23 = 0

Với k = 5 - 4

ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

y = (5-4

)x - 5 + 4 + 1 y = (5-4 )x - 4 + 4

Với k = 5 + 4

ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

y = (5+4

)x - 5 - 4 + 1 y =(5+4 )x - 4 -4

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0

Đáp án: Tâm I (1; 1) và R = 2

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: (x-2)2 + (y-3)2 = 18

Đáp án: Tâm I (2; 3) và R = 3

Bài 3: Cho phương trình: x2 + y2 - 4mx - 2my + 2m +3 = 0. Tìm m để phương trình là phương trình đường tròn.

Đáp án: m > 1 hoặc m <

Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm I (1; 2) đi qua điểm B (5; 0).

Đáp án: (x-1)2 + (y-2)2 = 20

Bài 5: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 4), B (8; 3) và C (5; 0)

Đáp án: x2 + y2 - 9x - 7y + 20 = 0

Bài 6: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 - 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

Đáp án: d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hai đường tròn: (C) có phương trình là x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và (C’) có phương trình x2 + y2 + 2x - 2y - 14 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Đáp án: (C) cắt (C’) tại hai điểm phân biệt.

Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (2; 1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy.

Đáp án: (x-1)2 + (y-1)2 = 1

Bài 9: Cho phương trình đường tròn (C): (x-1)2 + (y-1)2 = 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm B (3; 4).

Đáp án: d: 2x + 3y – 18 = 0

Bài 10: Cho phương trình đường tròn (C): (x-7)2 + (y-1)2 = 10. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm A (9; 5).

Đáp án: d: x – 3y + 6 = 0 và d’: 3x + y – 32 = 0

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường elip và cách giải bài tập
• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc hai và cách giải
• Đại cương về phương trình và cách giải

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.