Giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m là dạng toán biện luận đòi hỏi kỹ năng bao quát tổng hợp, vì vậy mà dạng này gây khá nhiều bối rối cho rất nhiều em.
Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m [hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó] một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay
° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m
¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất
¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Tính biệt số Δ
- Xét các trường hợp của Δ [nếu Δ có chứa tham số]
- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 - 2[m + 1]x + 3m - 5 = 0 [*]
° Lời giải:
- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ'. Ta có:
Δ'= [-[m + 1]]2 – 3.[3m – 5]
\= [m + 1]2 – 9m +15 > 0
\= m2 + 2m + 1 – 9m + 15
\= m2 – 7m + 16 > 0
\= [m – 7/2]2 + 15/4 > 0
- Như vậy, Δ' > 0, ∀m ∈ R nên phương trình [*] luôn có 2 nghiệm phân biệt:
» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình bậc 2 chứa ẩn dưới dấu căn cực hay
* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 - 2[m - 2]x + m - 3 = 0 [*]
° Lời giải:
• TH1: Nếu m = 0 thay vào [*] ta được:
• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ' như sau:
- Nếu
- Nếu
- Nếu
¤ Kết luận:
m > 4: Phương trình [*] vô nghiệm
m = 0: Phương trình [*] có nghiệm đơn x = 3/4.
m = 4: Phương trình [*] có nghiệm kép x = 1/2.
m < 4 và m ≠ 0: Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt:
* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ [Δ'].
- Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 [ax2 + bx + c = 0] có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.
* Với
- Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
- Nghiệm duy nhất [nghiệm kép] ⇔ Δ = 0
- Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu
- Có 2 nghiệm trái dấu
- Có 2 nghiệm dương [x1, x2>0]
- Có 2 nghiệm âm [x1, x2