Xét các số thực dương \[a\] và \[b\] thỏa mãn \[{\log _3}\left[ {1 + ab} \right] = \frac{1}{2} + {\log _3}\left[ {b – a} \right]\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\left[ {1 + {a^2}} \right]\left[ {1 + {b^2}} \right]}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\] bằng
A. \[1\]. B. \[2\]. C. \[4\]. D. \[3\].
Lời giải
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}b – a > 0\\a,b > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow b > a > 0\].
Ta có \[{\log _3}\left[ {1 + ab} \right] = \frac{1}{2} + {\log _3}\left[ {b – a} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 + ab} \right] – {\log _3}\left[ {b – a} \right] = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\frac{{1 + ab}}{{b – a}}} \right] = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + ab}}{{b – a}} = \sqrt 3 \]\[ \Leftrightarrow 1 + ab = \sqrt 3 \left[ {b – a} \right]\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{a} + b = \sqrt 3 \left[ {\frac{b}{a} – 1} \right]\]
Vì \[\frac{1}{a} + b \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \] nên \[\sqrt 3 \left[ {\frac{b}{a} – 1} \right] \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \] \[ \Rightarrow 3{\left[ {\frac{b}{a} – 1} \right]^2} \ge 4\frac{b}{a}\] \[ \Rightarrow 3{\left[ {\frac{b}{a}} \right]^2} – 10\frac{b}{a} + 3 \ge 0\]
\[ \Rightarrow \frac{b}{a} \ge 3\] [Do \[b > a > 0\] nên \[\frac{b}{a} > 1\] ].
Mặt khác \[P = \frac{{\left[ {1 + {a^2}} \right]\left[ {1 + {b^2}} \right]}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]\[ = \frac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2} + ab}}\]\[ \ge \frac{{2ab + {a^2} + {b^2}}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]
\[ = \frac{{{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]\[ = \frac{{a + b}}{a}\]\[ = 1 + \frac{b}{a}\]\[ \ge 4\].
Dấu \[” = ”\] xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}ab = 1\\\frac{b}{a} = 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Vậy \[\min P = 4\].
Đáp án A
Ta có
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Cho các số thực dương \[a, \, \,b \] thỏa mãn \[{ \log _a}b = 2. \] Giá trị của \[ \log {_{ab}} \left[ {{a^2}} \right] \] bằng:
A.
B.
C.
D.