Xét bài toán khoảng cách trong không gian.
Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên[SHB].
KẻAH⊥HBta có:
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng [sử dụng hình chiếu] hay, chi tiết
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng [α] thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên [α]
Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ [α] và Δ ⊂ [α]
Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ [SAK] ⇒[α] ⊥ [SAK] và [α] ∩ [SAK] = SK
Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ [α] ⇒ d[A, [α]] = AP
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng [P] cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng [P] lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến [SBC] bằng
Hướng dẫn giải
- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
- Ta có BC ⊥ AM [ trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao]. Và BC ⊥ SA [ vì SA vuông góc với [ABC]]. Nên BC ⊥ [SAM] ⇒ BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ [SBC]
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
SA ⊥ [ABCD] nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD
Suy ra [SAD] ⊥ CD
Trong [ SAD] kẻ AH vuông góc SD tại H
Khi đó AH ⊥ [SCD]
Chọn đáp án C
Quảng cáo
Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến [ABC] bằng :
A. 2aB. a√3 C. aD. a√5
Hướng dẫn giải
+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ [ABC]
Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến [SBC] bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn D
Kẻ AH ⊥ SB
Ta có:
Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ [SBC]
⇒ d[A; [SBC]] = AH
Trong tam giác vuông SAB ta có:
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD] , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn C
Kẻ AH ⊥ SD
Ta có:
Lại có; AH vuông góc SD [2]
Từ [1]; [2] ⇒ AH ⊥ [SCD] và d[A, [SCD]] = AH
Trong tam giác vuông SAD ta có:
Quảng cáo
Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:
Hướng dẫn giải
Chọn C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC [do tam giác ABC là tam giác đều]
Lại có: SA = SB = SC [vì S.ABC là hình chóp đều]
⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ [ABC] và SO = a√3
+ Gọi M là trung điểm của BC
Kẻ OH ⊥ SM, ta có
nên suy ra d[O; [SBC]] = OH.
Ta có: OM = [1/3].AM = [a√3]/3
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến [BCD] bằng:
Chọn B
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
⇒ OB = OC = OD [do tam giác BCD là tam giác đều]
Lại có: AB = AC = AD = a
⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
⇒ AO ⊥ [BCD]
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy [ABCD] và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng [SBC] là:
Chọn C
+ Trong mặt phẳng [ ABCD], kẻ OK ⊥ BC [K ∈ BC]
+ Mà BC ⊥ SO nên suy ra hai mặt phẳng [SOK] và [SBC] vuông góc nhau theo giao tuyến SK.
+ Trong mặt phẳng [SOK], kẻ OH ⊥ SK [H ∈ SK]
Suy ra: OH ⊥ [SBC] ⇒ d[O, [SBC]] = OH
+ Xét mp[ABCD] có:
+ xét tam giác SOK vuông tại O ta có:
Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến [ABC] bằng
A. 3√3 cmB. 6√3 cmC. 6 cmD. 6√2 cm
+ Gọi M là trung điểm AB.
Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM ⊥ AB; DM ⊥ AB suy ra: AB ⊥ [CDM]
+ Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên ∠CMD = 60°
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM
⇒ DH = d[D, [ABC]]
Xét tam giác DHM có:
DH = DM.Sin 60° = 6√3
Chọn đáp án B
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ A đến [B’CD’] bằng
Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2
⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.
Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’.
Ta có : AC = AD’ = AB’ và GB’ = GC = GD’
nên AG ⊥ [B'CD']
Khi đó ta có: d[A , [B’CD’]] = AG
Vì tam giác B’CD’ đều cạnh a√2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông AGD’ có:
Chọn C
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy [ABC] .
Gọi H là hình chiếu của S lên [ABC] , vì mặt bên [SBC] vuông góc với [ABC] nên H ∈ BC
Dựng HI ⊥ AB, HJ ⊥ AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°.
Do đó: ΔSHI = ΔSHJ [cạnh góc vuông - góc nhọn]
Suy ra : HI = HJ
Lại có ∠B = ∠C = 45° ⇒ ΔBIH = ΔCJH ⇒ HB = HC
Vậy H trùng với trung điểm của BC
Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2
Tam giác SHI vuông tại H và có ∠SIH = 45° ⇒ ΔSHI vuông cân.
Do đó: SH = HI = a/2
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b√3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.
Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.
Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ [ABC] ⇒ d[S, [ABC]] = SH
Chọn C
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng [C1D1M] bằng bao nhiêu?
Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và
Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD [c.g.c]
Chọn đáp án A
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng [ABC] bằng:
A. 4aB. 3aC. aD. 2a
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ [ABC]
Tam giác SAG vuông tại G có:
Chọn đáp án C
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:
Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD
Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ [ABCD]
Kẻ OH ⊥ SM, ta có:
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng [SBC].
Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60°
⇒ tam giác ABC đều cạnh a.
Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2
Kẻ OI ⊥ BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4 .
Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ [SBC]
⇒ d[O; [SBC]] = OH
Xét tam giác vuông SOI ta có:
Chọn D
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBD] tính theo a bằng
Xác định khoảng cách:
- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a
Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3
Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên
Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a.
- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng [SBD]: Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.
AH = a√6/3
Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a√6/3
Chọn đáp án D
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD]; SC tạo với mặt phẳng [SAB] một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SCM]?
+ Ta có:
Khi đó; SC tạo với mặt phẳng [SAB] góc 30° nên ∠CSB = 30°
+ Xác định khoảng cách: d[A; [SBC]] = AH
Tính AH:
Chọn đáp án B
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng [SBC] tính theo a bằng
+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp[ABCD] là HC ⇒ [SC, [ABCD]] = ∠SCH = 30°
Đặt AD = 4x [x > 0]
Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:
Chọn D
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng [SAC] là
Chọn A
+ Do góc giữa SA và mp[ABC] là 60° nên ∠SAH = 60°
+ Ta có; CI = CA.sin60° = [a√3]/2; AI = AB/2 = a/2
Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra
Trong tam giác SHA vuông tại H và ∠SAH = 60° suy ra SH = AH √3 = a√21/4
Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d[H; [SAC]] = HF
Ta có:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng [dùng quan hệ song song] hay, chi tiết
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
TH1: Dựng đường thẳng AH // [α] .
Lúc đó: d[A, [α]] = d[H, [α]]
TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ [α] = {I} .
Lúc đó:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD] đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
Ta có; AB // CD nên d[B, [SCD]]= d[A; [SCD]].
Ta tính khoảng cách từ A đến [SCD] :
SA ⊥ [ABCD] nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD
Suy ra [SAD] ⊥ CD
Trong [SAD] kẻ AH vuông góc SD tại H .
Khi đó AH ⊥ [SCD]
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp [SBC]
Hướng dẫn giải
Chọn C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC [do tam giác ABC là tam giác đều].
Lại có: SA = SB = SC [ vì S.ABC là hình chóp đều]
⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ [ABC] và SO = a√3
+ Gọi M là trung điểm của BC.
Kẻ OH ⊥ SM, ta có
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
AO cắt [SBC] tại M và AM = 3OM nên d[A, [SBC]]= 3.d[O; [SBC]] = 3OH.
Chọn D
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng [ABC] trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SAB] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Gọi H là hình chiếu của J lên AB
Gọi Z là hình chiếu của G lên AB
Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.
+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:
+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH
+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SMN] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ [ABC]
Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp [ABC] là 60° nên ∠SCG = 60°
Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = [a√3]/2 và CG = 2/3.CM = [a√3]/3
Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = [[a√3]/3].√3 = a
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.
Khi đó d[C, [SMN]] = 3 d[G; [SMN]]= 3 GF
Ta có :
Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SAB] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn A
Quảng cáo
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên [ABCD] là trung điểm của AO góc giữa [SCD] và [ABCD] là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng [SCD] tính theo a bằng
Chọn D
Ta có:
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc [ABCD], SH = a√3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SBP] tính theo a bằng
Ta chứng minh: NC ⊥ MD
Thật vậy: ΔADM = ΔDCM vì ∠A = ∠D = 90°; AD = DC; AM = DN ⇒ ∠ADM = ∠DCN
Mà ∠ADM + ∠MDC = 90° ⇒ ∠MDC + ∠DCN = 90° ⇒ NC ⊥ MD
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy [ABCD] một góc 60°. Khoảng cách từ D đến [SBC] tính theo a bằng
+ Từ giả thiết suy ra: SM ⊥ [ABCD] và góc giữa SB tạo với mặt phẳng [ABCD] là
+ Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC . Góc giữa mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng [SBM] bằng
+ Do đáy ABCD là hình vuông nên AN ⊥ BM.
+ Góc giữa mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] là góc ∠AIS = 45° .
Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a
+ Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d[D; [SBM]]= d[A; [SBM]] = AH
Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI.
- Tính AH:
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng [ABCD] một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng [SBC]?
Gọi E là trọng tâm của tam giác ABD.
Do hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] trùng với trọng tâm của tam giác ABD nên SE ⊥ [ABCD]
Do đó, góc giữa SD tạo với mặt phẳng [ABCD] là ∠SDE = 60°
Chọn đáp án B
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng [SCD] và mặt phẳng [ABCD] bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng [SBC] tính theo a bằng
Kẻ HK ⊥ CD
Do đó; góc giữa hai mặt phẳng [SCD] và [ABCD] là ∠SKH = 60°
Có HK = AD = 2a, SH = HK.tan60° = 2a√3
Chọn C
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến [SAB] nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
+ Ta có: DM // AB nên DM // mp [SAB]
⇒ d[ M; [SAB]] = d[ D; [SAB]]
+ Ta có: SA ⊥ AD [vì SA vuông góc với [ABCD]]
Và AB ⊥ AD [vì ABCD là hình vuông]
⇒ AD ⊥ [SAB]
Do đó d[M, [SAB]] = d[D, [SAB]] = a
Chọn đáp án D
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,[ rm[ ]]AC = acăn 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng [ [SAC] ].
Câu 8850 Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left[ {SAC} \right]$.
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng [lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng] để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng --- Xem chi tiết
...