Cách tính và công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp là kiến thức nằm trong chương trình Toán học lớp 12, gặp nhiều bài tập cũng như bài thi liên quan tới dạng tính mặt cầu ngoại tiếp này. Các em muốn bổ sung kiến thức này thì có thể tham khảo bài viết dưới đây.
Mặt cầu là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là tâm cầu O, bán kính R, kí hiệu: S[O; R] hay {M/OM = R}, vậy công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp là gì, mời các bạn cùng đón đọc bài hướng dẫn chi tiết của chúng tôi.
Công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a, hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương
Mục Lục bài viết:
I. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản.
1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
IV. Bài tập.
I. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp
S = 4.π.R2
Với: S là kí hiệu diện tích mặt cầu
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
- Trục đáy: Là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
- Trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Mặt trung trực của đoạn thẳng: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản
- Tâm và bán kính mặt cầu là hai đại lượng quan trọng để tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, chính vì vậy xác định tâm và bán kính là thao tác quan trọng để các em có thể tìm được diện tích. Cùng theo dõi cách tìm tâm và cách tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình.
1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Hình lăng trụ đứng A1A2A3A4.A'1A'2A'3A'4 có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O'.
- Tâm mặt cầu: I và I' [đều là trung điểm của OO']
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = IA1 = IA2 = ....
- Biết tâm, bán kính, áp dụng công thức để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có các cạnh bằng a,...
2.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a] Hình chóp đều
Hình minh họa
* Xác định tâm mặt cầu:
Hình chóp đều S.ABC có:
- O là tâm của đáy => SO là trục đáy
- Trên mặt phẳng [SAO], vẽ d là đường trung trực của SA cắt SA tại giao điểm M, cắt SO tại giao điểm I
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA, ta có:
=> R = SI = SA2 : 2.SO = IB = IB = IC [R: Bán kính]
* Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Sau khi tính được bán kính mặt cầu, ta áp dụng công thức: S = 4.π.R2
b] Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Hình minh họa
* Tìm tâm mặt cầu:
Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy [ABC] trong đó mặt đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, vẽ d vuông góc với [ABC] tại O.
- Trong mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng d với SA, vẽ đường trung trực d' của SA, giao với SA tại M, giao với d tại I.
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Từ các dữ kiện đã biết, ta có hình chữ nhật MIOB
- Xét tam giác vuông MAI tại M:
R = AI = √[MI2 + MA2] = √[AO2 + [SA/2]2]
Lưu ý: Nếu hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy [ABC] và tam giác ABC vuông tại B thì tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chóp chính là trung điểm của đường SC.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, hình hộp chữ nhật
* Xác định tâm của mặt cầu:
- Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' [tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương].
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
- Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.
* Áp dụng công thức tính S để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 1, cạnh bằng 2a,...
III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp, các bạn cần tính được bán kính ngoại tiếp. Các bạn cùng xem công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnđể áp dụng vào trong bài cho đúng.
IV. Bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp
Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SAB là tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, [SAB] vuông [ABC]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài giải:
Bài tập 2:Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ [ABCD]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện, hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ tương đối đơn giản, dễ nhớ, dễ thuộc, tuy nhiên trong từng dạng bài tập các em cần áp dụng một cách linh hoạt để tìm ra đáp án chính xác nhất cho đề bài. Bên cạnh đó các em cũng cần hiểu và ghi nhớ cách tính diện tích hình tròn để dễ dàng áp dụng những loại hình tương tự trong hình học không gian nhé.
//thuthuat.taimienphi.vn/cong-thuc-dien-tich-mat-cau-ngoai-tiep-34062n.aspx
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm các dạng bài về mặt cầu ngoại tiếp như bài toán công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là một bài toán mà các em rất hay gặp đó nhé.
Cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong hình học không gian là một phần kiến thức Toán học tương đối khó với các em học sinh lớp 12. Nhằm giúp các em dễ dàng hơn trong việc ôn luyện phần kiến thức này, chúng tôi đã tổng hợp một số cách tính đơn giản nhất cho các em tham khảo.
Mời độc giả đón đọc những dạng bài và phương pháp giải bài tập tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chúng tôi đã tổng hợp được dưới đây để áp dụng vào giải các bài tập trong quá trình làm bài tập Hình học.
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Công thức tổng quát tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối tứ diện bất kì
Cách tính : Giả sử khối tứ diện bất kì ABCD có: BC = a, CA = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f
=> Ta có công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
R =
Với: M = a2d2 [b2 + e2 + c2 + f2 - a2 - d2]
N = b2e2 [a2 + d2 + c2 + f2 - b2 - e2]
P = c2f2 [a2 + d2 + b2 + e2 - c2 - f2]
Q = [abc]2 + [aef]2 + [bdf]2 + [cde]2
Ví dụ minh họa : Cho tứ diện ABCD có: AB = 3, AC = BC = AD = BD = 4, CD = 6. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD.
Hướng dẫn cách làm bài: Các em học sinh áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện như trên, thay số vào và tính toán cẩn thận là sẽ tìm ra đáp án đúng.
Giới thiệu cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Đây là dạng bài tập phổ biến nhất trong dạng bài tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Cách làm chung :
- Xác định tâm đáy, dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
- Tâm của mặt cầu chính là giao điểm của mặt phẳng [P] và đường thẳng d.
Các dạng bài cụ thể :
Dạng 1 : Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Giả sử: r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao:
- Công thức tính bán kính:
R = √[[h/2]2 + r2]
* Bài tập vận dụng: Tứ diện OABC có OA = a, OB = OC = 2a, các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
[Vẽ hình và đặt kí hiệu như hình bên ]
* Gợi ý cách làm:
- Tìm độ dài BC [dựa vào định lí Py-ta-go trong tam giác vuông OBC]
- Từ độ dài BC, tìm được r = 1/2 BC
- Biết r, biết h = OA => Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện để tìm R.
Dạng 2 : Hình chóp đều
Giả sử: Hình chóp có độ dài cạnh bên là a, chiều cao là h:
- Công thức tính bán kính:
R = a2/2h
* Bài tập vận dụng: Hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên = 2a, cạnh đáy bằng a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
[Các em dựng hình như hình bên]
* Gợi ý cách làm:
- Tìm độ dài AO
- Tìm độ dài SO [dựa vào tam giác vuông SAO]
- Sử dụng công thức tính bán kính, thay số vào, tính toán cẩn thận là tìm ra kết quả.
Các kiến thức lý thuyết và một số bài tập minh họa trên đây hi vọng sẽ giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập có liên quan đến tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và muốn học tốt được phần kiến thức này, các em cần học thuộc công thức và luyện tập làm nhiều bài tập hơn nữa. Bài tập công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp cũng là dạng bài liên quan đến tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, các em nên tham khảo và ghi nhớ nhé.
//thuthuat.taimienphi.vn/cong-thuc-tinh-ban-kinh-mat-cau-ngoai-tiep-tu-dien-34063n.aspx
Bên cạnh đó các em cũng cần ôn lại và nắm vững cách tính diện tích hình tròn, kiến thức này sẽ giúp ích cho các em rất nhiều khi gặp các bài tập về hình tròn, mặt cầu, chỏm cầu hay các dạng hình liên quan đó nhé.