Đề bài
Cho một đa giác đều \[n\] cạnh có độ dài mỗi cạnh là \[a.\] Hãy tính bán kính \[R\] của đường tròn ngoại tiếp và bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.
Hướng dẫn:
Tính \[\widehat {COB}\] rồi tính \[\sin \widehat {COB}\] và \[\tan\widehat {COB},\] từ đây tính được \[R\] và \[r\] \[[h.4].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.
+] Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác.
+] Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác đều \[n\] cạnh bằng \[\dfrac{360^\circ}{n}.\]
Lời giải chi tiết
Giả sử một đa giác đều \[n\] cạnh có độ dài một cạnh là \[a.\] Gọi \[R\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp, \[r\] bán kính đường tròn nội tiếp.
\[ \Rightarrow OB = R; OC = r\]
\[\widehat {AOB} = \displaystyle{{360^\circ } \over n}\]
\[ \Rightarrow \widehat {COB} = \displaystyle{{360^\circ } \over n}:2 = {{180^\circ } \over n}\]
Trong \[OCB\] ta có: \[\widehat {OCB} = 90^\circ \]
Nên \[\sin \widehat {COB} = \displaystyle{{CB} \over {OB}} = {\displaystyle{{a \over 2}} \over R} = {a \over {2R}}\]
\[ \Rightarrow 2R = \displaystyle{a \over {\sin \displaystyle{{180^\circ } \over n}}}\]
\[\Rightarrow R =\displaystyle {a \over {2\sin \displaystyle{{180^\circ } \over n}}}\]
Xét tam giác \[OCB\] vuông tại \[C\], ta có:
\[\tan \widehat {COB} = \displaystyle{{CB} \over {OC}} = {\displaystyle{{a \over 2}} \over r} = \displaystyle{a \over {2r}} \]
\[\Rightarrow 2r = \displaystyle{a \over {\tan \displaystyle{{180^\circ } \over n}}}\]
\[\Rightarrow r = \displaystyle{a \over {2\tan \displaystyle{{180^\circ } \over n}}}\]