Đề bài
Cho khối lăng trụ đểu \[ABC.A'B'C\] và \[M\] là trung điểm của cạnh \[AB\]. Mặt phẳng \[[B'C'M]\] chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là giao điểm của đường thẳng \[BM\] với \[AA\]; \[N\] là giao điểm của \[IC\] với \[AC\]. Khi đó \[A\] là trung điểm của \[AI\] và \[N\] là trung điểm của \[AC\].
Đặt \[{S_{ABC}} = S\]và \[AA' = h\]
Thiết diện của mp \[[BCM]\] với khối lăng trụ \[ABC.ABC\] là hình thang cân \[MNCB\]. Mp \[[BCM]\] chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh \[AA\] có thể tích là \[{V_1}\], phần còn lại có thể tích là \[{V_2}\]. Khi đó ta có:
\[\eqalign{
& {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr &= \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr
& = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left[ {{V_1} + {V_2}} \right] \cr
& \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr &\Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr} \]
Cách trình bày khác:
Ta có: \[\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC'}} = \frac{{AM}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\]
\[{V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}}\] \[ = {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}}\]
\[{V_{I.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I\] \[ = \frac{1}{3}S.2h = \frac{2}{3}Sh = \frac{2}{3}V\]
\[\frac{{{V_{I.AMN}}}}{{{V_{I.A'B'C'}}}} = \frac{{IA}}{{IA'}}.\frac{{IM}}{{IB'}}.\frac{{IN}}{{IC'}}\] \[ = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\]
\[ \Rightarrow {V_{I.AMN}} = \frac{1}{8}{V_{I.A'B'C'}}\] \[ = \frac{1}{8}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{{12}}V\]
\[ \Rightarrow {V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{12}}V = \frac{7}{{12}}V\]
\[ \Rightarrow {V_2} = V - {V_1}\] \[ = V - \frac{7}{{12}}V = \frac{5}{{12}}V\]
\[ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{12}}V:\frac{5}{{12}}V = \frac{7}{5}\]