- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Câu 1 [2,0 điểm]:Hãy tính giá trị của:
a] \[M = \left[ {2\sqrt {300} + 3\sqrt {48} - 4\sqrt {75} } \right]:\sqrt 3 \] ;
b] \[N = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \] ;
c] \[P = \dfrac{2}{{\sqrt 3 + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3 + 3}}\] ;
Câu 2 [2,0 điểm]:Cho các biểu thức:
\[A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\] và \[B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\] với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\]
a] Hãy tính giá trị củaAkhi \[x = 16\].
b] Rút gọnB.
c] Xét biểu thức \[T = \dfrac{A}{B}\] . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất củaT.
Câu 3 [2,0 điểm]:Cho hàm số \[y = \left[ {2 - m} \right]x + m + 1\] [vớimlà tham số và \[m \ne 2\]] có đồ thị là đường thẳng \[\left[ d \right].\]
a] Khi \[m = 0\], hãy vẽ \[\left[ d \right]\] trên hệ trục tọa độ \[Oxy\].
b] Tìmmđể \[\left[ d \right]\] cắt đường thẳng \[y = 2x - 5\] tại điểm có hoành độ bằng 2.
c] Tìmmđể \[\left[ d \right]\] cùng với các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy\] tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 4 [3,5 điểm]:Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] và điểmAnằm ngoài \[\left[ O \right]\]. TừAkẻ hai tiếp tuyếnAB, ACvới \[\left[ O \right]\] [B, Clà các tiếp điểm]. GọiHlà giao điểm củaOAvàBC.
a] Chứng minh bốn điểmA, B, O, Ccùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minhOAlà đường trung trực củaBC.
c] LấyDđối xứng vớiBquaO. GọiElà giao điểm của đoạn thẳngADvới \[\left[ O \right]\] [Ekhông trùng vớiD]. Chứng minh \[\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\].
d] Tính số đo gócHEC.
Câu 5 [0,5 điểm]:Cho \[x > 0,\,\,y > 0\] thỏa mãn \[xy = 6\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\] .
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
a]\[M = \left[ {2\sqrt {300} + 3\sqrt {48} - 4\sqrt {75} } \right]:\sqrt 3 \]
\[\begin{array}{l}M = \left[ {2\sqrt {300} + 3\sqrt {48} - 4\sqrt {75} } \right]:\sqrt 3 = \left[ {2.10\sqrt 3 + 3.4\sqrt 3 - 4.5\sqrt 3 } \right]:\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {20\sqrt 3 + 12\sqrt 3 - 20\sqrt 3 } \right]:\sqrt 3 = 12\sqrt 3 :\sqrt 3 = 12\end{array}\]
b]\[N = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \] ;
\[\begin{array}{l}N = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\\;\;\;= \left| {\sqrt 3 - 2} \right| + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} = 2 - \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1 = 1\end{array}\]
c]\[P = \dfrac{2}{{\sqrt 3 + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3 + 3}}\];
\[\begin{array}{l}P = \dfrac{2}{{\sqrt 3 + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3 + 3}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}} - \dfrac{{1\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]}} + \dfrac{{12\left[ {3 - \sqrt 3 } \right]}}{{\left[ {3 + \sqrt 3 } \right]\left[ {3 - \sqrt 3 } \right]}}\\= \dfrac{{2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - 1}} + \dfrac{{12\left[ {3 - \sqrt 3 } \right]}}{6}\\ = \sqrt 3 - 1 + \sqrt 3 + 2 + 2\left[ {3 - \sqrt 3 } \right] = 7\end{array}\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
Câu 2:Cho các biểu thức:
\[A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\] và\[B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\] với\[x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\]
a] Hãy tính giá trị củaAkhi\[x = 16\].
Tại \[x = 16\]thì \[A = 1 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \dfrac{4}{{1 + 4}} = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\]
b] Rút gọnB.
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right] - \left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right] + \sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}} = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}} = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\]
c] Xét biểu thức\[T = \dfrac{A}{B}\]. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất củaT.
\[A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{1 + \sqrt x - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}\]
\[T = \dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}:\dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }}\]
Do \[x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \dfrac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \dfrac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 = - 2\]
Dấu bằng xảy ra khi \[x = 0\]
Vậy \[Min\;T = - 2\] khi \[x = 0.\]
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Câu 3:Cho hàm số\[y = \left[ {2 - m} \right]x + m + 1\][với m là tham số và\[m \ne 2\]] có đồ thị là đường thẳng\[\left[ d \right].\]
a] Khi\[m = 0\], hãy vẽ\[\left[ d \right]\]trên hệ trục tọa độ\[Oxy\].
Khi\[m = 0\] thì \[\left[ d \right]:\;\;y = 2x + 1\]
Đồ thị của đường thẳng \[\left[ d \right]\] đi qua 2 điểm \[\left[ {0;1} \right],\,\,\,\left[ {1;3} \right].\]
b] Tìm m để\[\left[ d \right]\]cắt đường thẳng\[y = 2x - 5\]tại điểm có hoành độ bằng 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left[ d \right]\] và đường thẳng \[y = 2x - 5\] là
\[\left[ {2 - m} \right]x + m + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow mx = m + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Để \[\left[ d \right]\] cắt đường thẳng \[y = 2x - 5\] tại điểm có hoành độ bằng 2 thì \[x = 2\] là nghiệm của phương trình \[\left[ 1 \right]\] hay \[2m = m + 6 \Leftrightarrow m = 6.\]
Vậy với \[m = 6\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c] Tìmmđể\[\left[ d \right]\]cùng với các trục tọa độ\[Ox,\,\,Oy\]tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
GọiAvàBlà giao điểm của \[\left[ d \right]\] lần lượt với hai trục tọa độOx, Oy.
Tọa độ điểmAthỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}y = \left[ {2 - m} \right]x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \]
\[\Rightarrow A\left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right] \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\]
Tọa độ điểmBthỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}y = \left[ {2 - m} \right]x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1\]
\[\Rightarrow B\left[ {0;m + 1} \right] \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|\]
\[{S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2\]
\[\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} = 4\left| {m - 2} \right|\]
Trường hợp 1: \[m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} = 4\left[ {m - 2} \right] \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0\] vô nghiệm.
Trường hợp 2: \[m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} = - 4\left[ {m - 2} \right] \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left[ {tm} \right]\\m = - 7\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]
Vậy với \[m = 1\] hoặc \[m = - 7\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
Câu 4:Cho đường tròn\[\left[ {O;R} \right]\]và điểmAnằm ngoài\[\left[ O \right]\]. TừAkẻ hai tiếp tuyếnAB, ACvới\[\left[ O \right]\][B, Clà các tiếp điểm]. GọiHlà giao điểm củaOAvàBC.
a] Chứng minh bốn điểmA, B, O, Ccùng thuộc một đường tròn.
Ta cóAB, AClà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]\[ \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\]
\[ \Rightarrow \]B, Ccùng thuộc đường tròn đường kínhOA
\[ \Rightarrow \]A, B, O, Ccùng thuộc một đường tròn đường kínhOA. [đpcm]
b] Chứng minhOAlà đường trung trực củaBC.
Ta cóAB, AClà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] cắt nhau tạiA
\[ \Rightarrow \]\[AB = AC\] vàAOlà phân giác \[\angle BAC\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau]
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] là tam giác cân tạiA
\[ \Rightarrow \]AOvừa là phân giác \[\angle BAC\] vừa là đường trung trực củaBC[tính chất tam giác cân]
c] LấyDđối xứng vớiBquaO. GọiElà giao điểm của đoạn thẳngADvới\[\left[ O \right]\][Ekhông trùng vớiD]. Chứng minh\[\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\].
Ta cóDđối xứng vớiBquaO\[ \Rightarrow \]BDlà đường kính của \[\left[ O \right]\]
\[ \Rightarrow \]\[\angle BED = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Xét \[\Delta BED\] và \[\Delta ABD\] có: \[\angle BED = \angle ABD = {90^o}\], \[\angle D\] chung
d] Tính số đo gócHEC.
\[\angle BCD = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[\angle AHB = {90^o}\] [AOlà trung trực củaBC]
Xét \[\Delta BCD\] và \[\Delta AHB\] có: \[\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\][BAlà tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] tạiB]
kết hợp c] \[ \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}\]
Xét \[\Delta BHE\] và \[\Delta DCE\] có [2 góc t.ư]
\[ \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\]
Mà \[\angle BED = {90^o}\] [chứng minh trên]
Vậy \[\angle HEC = {90^o}\]
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
Cho \[x > 0,\,\,y > 0\] thỏa mãn \[xy = 6\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\] .
\[Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\]
Đặt \[t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y} \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6} = 12\]
Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \[t \ge 12\] nên ta có:
\[Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left[ {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right] - \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}} - \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}\]
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left[ {do\;\;y > 0} \right]\end{array} \right.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất củaQlà \[\dfrac{5}{2}\] đạt được khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\].
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com