Hướng dẫn giải bài 2 trang 52, 53 SGK toán 4
Đề bài:Hãy vẽ đường cao AH của hình tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:
Phương pháp giải:
Cách tạo đường cao AH của tam giác ABC: Từ đỉnh A của tam giác ABC đã cho, hạ một đường thẳng vuông góc với cạnh BC, cắt BC tại H.
Đáp án:
Taimienphi.vn vừa hướng dẫn giải bài tập 2 trang 52, 53 SGK toán 4. Bên cạnh đó, còn các bài Giải Bài 1 Trang 52, 53 SGK Toán 4 và Giải Bài 3 Trang 52, 53 SGK Toán 4. Cũng được chúng tôi gợi ý giải cùng với phương pháp. Cùng xem hướng dẫn giải bài tập trang 52, 53 toán 4 để học tốt môn toán lớp 4 nhé!
Giải bài 2 trang 52, 53 SGK toán 4 trong Vẽ hai đường thẳng vuông góc, Hãy vẽ đường cao AH của hình tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác
3. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
4. Đặc biệt đối với tam giác đều
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
Nếu \[H\] là giao điểm của hai đường cao kẻ từ \[B\] và \[C\] của \[\Delta ABC\] thì \[AH \bot BC.\]
Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện
- Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó” để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.
- Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp:
Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
- Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!
Bài 2 [trang 53 Toán lớp 4]: Hãy vẽ đường cao AH của hình tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
Quảng cáo
Hướng dẫn:
- Đặt một cạnh góc vuông của ê-ke trùng với đường thẳng BC
- Trượt ê-ke theo đường thẳng để cạnh góc vuông còn lại của ê-ke gặp điểm A, vạch đường cao AH theo cạnh đó…
Quảng cáo
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt môn Toán lớp 4:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 3-4-5 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Loạt bài Giải bài tập Toán 4 | Để học tốt Toán 4 của chúng tôi được biên soạn một phần dựa trên cuốn sách: Giải Bài tập Toán 4 và Để học tốt Toán 4 và bám sát nội dung sgk Toán lớp 4.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
ve-hai-duong-thang-vuong-goc.jsp
Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong tam giác và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Cách tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề đường cao là gì, cùng tìm hiểu nhé!.
Định nghĩa đường cao là gì ?
- Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.
- Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.
- Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác
Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích tam giác
Cho tam giác \[ ABC \] có đường cao \[ AH \] tương ứng với cạnh đáy \[ BC \] . Khi đó diện tích tam giác \[ ABC \] được tính theo công thức:
\[ S_{\Delta ABC}=[latex]\frac{1}{2}BC.AH\]
Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: \[AH=\frac{2.S_{\Delta ABC}}{BC}\]
Ví dụ 1:
Cho tam giác \[ ABC \] đường cao \[ AH \] . Lấy \[ M \] là trung điểm \[ AC.\] . Kẻ \[ MK \] vuông góc với \[ BC\] . Biết \[\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\], tính tỉ số \[\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}\]
Cách giải:
Vì \[\left\{\begin{matrix} MK \bot BC\\ AH \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || BC\]
Mà vì \[ M \] là trung điểm \[ AC \] nên \[ \Rightarrow MK \] là đường trung bình của tam giác \[ AHC \]
\[ \Rightarrow K \] là trung điểm của \[ HC \]
\[\Rightarrow \frac{KC}{HC}=\frac{1}{2}\]
Vì \[\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HC}{BC}=\frac{3}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{KC}{BC}=\frac{3}{8}\]
Do \[ MK \] là đường trung bình của tam giác \[ AHC \] nên \[\frac{MK}{AH}=\frac{1}{2}\]
Vậy ta có :
\[\frac{S_{\Delta MKC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{MK.KC}{AH.BC}=\frac{MK}{AH}.\frac{KC}{BC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{3}{16}\]
Tính chất đường cao trong tam giác cân
- Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
- Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
- Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.
Ví dụ 2:
Cho tam giác \[ ABC \] đường cao \[ AH \] và \[ HC=2HB \] . Trên đường thẳng đi qua \[ C \] song song với \[ AH \] , lấy điểm \[ K \] sao cho \[ CK = AH \] và \[ K \] nằm khác phía với \[ A \] qua \[ BC \] . \[AK \cap BC = D\]. Chứng minh tam giác \[ ABD \] cân
Cách giải:
Vì \[\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ CK \bot BC \end{matrix}\right. \Rightarrow AH || CK\]
Mà \[ AH=CK \Rightarrow AHCK \] là hình bình hành
\[ \Rightarrow D \] là trung điểm của \[ HC \]
\[\Rightarrow \frac{HD}{HC}=\frac{1}{2}=\frac{HB}{HC} \Rightarrow HB=HD\]
\[ \Rightarrow \] AH là đường trung tuyến của tam giác \[ ABD \]
Mà \[ AH \] cũng là đường cao của tam giác \[ ABD \]
\[ \Rightarrow \] tam giác \[ ABD \] cân tại \[ A \]
Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.
Tính chất đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.
Tính chất đường cao trong tam giác đều
Tìm hiểu các công thức tính đường cao trong tam giác
Công thức Heron: Đây là công thức tổng quát để tính độ dài đường cao của tam giác bất kỳ
\[h_a=2\frac{\sqrt{p[p-a][p-b][p-c]}}{a}\]
Trong đó:
\[ a,b,c \] là độ dài ba cạnh của tam giác
\[ p \] là nửa chu vi: \[p=\frac{a+b+c}{2}\]
\[ h_a \] là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy \[ a \]
Ngoài ra trong một số tam giác đặc biệt ta có thể sử dụng các công thức khác để tính đường cao tam giác.
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
\[AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}\]
Công thức tính đường cao trong tam giác đều
\[AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\]
Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng những công thức như sau:
\[AH =\frac{AB.AC}{BC}\]
\[AH =\sqrt{HB.HC}\]
\[\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\]
Ví dụ 3:
Cho tam giác \[ ABC cân tại [latex] A có đường cao [latex] AH và [latex] BK. Chứng minh rằng :
[latex]\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\]
Cách giải:
Dựng đường thẳng vuông góc với \[ BC \] tại \[ B \] cắt đường thẳng \[ AC \] tại \[ D \] . Khi đó ta có :
\[\left\{\begin{matrix} AH \bot BC\\ BD \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow AH || BD\]
Vì tam giác \[ ABC \] cân tại \[ A \] nên đường cao \[ AH \] cũng là trung tuyến của \[ BC \]
\[ \Rightarrow H \] là trung điểm \[ BC \]
\[ \Rightarrow AH \] là đường trung bình của tam giác BCD [/latex]
\[ \Rightarrow BD = 2AH \]
Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông \[ BCD \] ta có :
\[\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\]
Tìm hiểu về trực tâm tam giác
Định nghĩa trực tâm là gì?
Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ giao nhau tại một điểm, ta gọi đó là trực tâm của tam giác.
- Đối với tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm ở miền trong tam giác đó.
- Đối với tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.
- Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Tính chất trực tâm tam giác
Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh quan tâm. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:
- Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.
- Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tam giác đó đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.
Chứng minh tính chất trực tâm tam giác
Gọi \[ H \] là trực tâm tam giác \[ ABC \] . Dựng đường kính \[ BD \] . Kẻ \[ OI /bot BC \]
Vì \[ BD \] là đường kính \[\Rightarrow \widehat{BCD}=90^{\circ}\]
\[\Rightarrow DC \bot BC\]. Mà \[ AH \bot BC \]
\[\Rightarrow AH || CD\]
Tương tự có \[ AD || CH \] do cùng vuông góc với \[ AB \]
Vậy \[\Rightarrow AHCD\] là hình bình hành
\[\Rightarrow AH = CD \;\;\;\; [1]\]
Xét \[ \Delta BCD \] có :
\[ O \] là trung điểm \[ BD \]
\[ OI || CD \] do cùng vuông góc với \[ BC \]
\[\Rightarrow OI\] là đường trung bình của tam giác \[ BCD \]
\[\Rightarrow OI = \frac{CD}{2} \;\;\;\;\; [2]\]
Từ \[ [1][2] \Rightarrow AH = CD =2OI\]
Ví dụ 4:
Cho tam giác \[ ABC nội tiếp đường tròn [latex] [O] \] . Dựng đường cao \[ AN,CK \] . Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ BKN \] cắt \[ [O] \] tại điểm thứ hai \[ M \] . Gọi \[ I \] là trung điểm \[ AC \] . Chứng minh rằng \[ IM \bot IB \]
Cách giải:
Lấy \[ J \] là trung điểm \[ BH \]
Vì \[\widehat{BKH}=\widehat{BNH}=90^{\circ} \Rightarrow\] tứ giác \[ BNHK \] nội tiếp đường tròn đường kính \[ BH \]
\[\Rightarrow \widehat{BMH}=90^{\circ}\] hay \[ BM \bot MH \;\;\;\;\; [1] \]
Theo tính chất trực tâm ta có :
\[OI=\frac{BH}{2}=JH\]
Mặt khác : \[\left\{\begin{matrix} OI \bot AC\\ JH \bot BC \end{matrix}\right.\Rightarrow OI || JH\]
\[\Rightarrow OIHJ\] là hình bình hành
\[\Rightarrow HI || OJ \;\;\;\; [2]\]
Do \[ J \] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ BMH \] nên ta có :
\[ JM=JB \]
Mặt khác \[ OM=OB \]
\[\Rightarrow OJ\] là đường trung trực của \[ BM \]
\[\Rightarrow OJ \bot BM \;\;\;\; [3]\]
Từ \[ [2][3] \Rightarrow HI \bot BM \]
Mà từ \[ [1] \] có \[ MH \bot BM \]
Từ đó \[\Rightarrow \overline{I,H,M}\] và \[ IM \bot MB \]
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán liên quan đến đường cao trong tam giác. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề đường cao là gì. Chúc bạn luôn học tốt!.
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm >>> Chuyên đề số trung bình cộng lớp 7 và Các dạng toán liên quan
Please follow and like us: