Bài học này trình bày nội dung: góc ở tâm, số đo cung. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 9 tập 2, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Góc ở tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm
2. Số đo cung
- Số đo cung của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng $360^{\circ}$ trừ đi số đo của cung nhỏ
- Số đo của nửa đường tròn bằng $180^{\circ}$
Chú ý:
- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^{\circ}$
- Cung lớn có số đo lớn hơn $180^{\circ}$
- Cung có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau có số đo $0^{\circ}$.
- Cung có cả đường tròn có số đo là $360^{\circ}$
3. So sánh hai cung
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
4. Khi nào thì số đo cung AB = số đo cung AC + số đo cung CB
- Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: số đo cung AB = số đo cung AC + số đo cung CB
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 68 - SGK Toán 9 tập 2
Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vòa những thời điểm sau:
- 3 giờ; b] 5 giờ; c] 6 giờ; d] 12 giờ; e] 20 giờ?
Câu 2: Trang 69 – SGK Toán 9 tập 2
Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc $40^{\circ}$. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.
Câu 3: Trang 69 – SGK Toán 9 tập 2
Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB.
Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.
Câu 4: Trang 69 SGK Toán 9 tập 2
Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.
Hình 7
Câu 5: Trang 69 - SGK Toán 9 tập 2
Hai tiếp tuyến của đường tròn [O] tại A và B cắt nhau tại M. Biết $\widehat{AMB}$ =$35^{\circ}$.
- Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi bán kính OA, OB.
- Tính số đo mỗi cung AB [cung lớn và cung nhỏ].
Câu 6: Trang 69 – SGK Toán 9 tập 2
Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, C.
- Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.
- Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.
Câu 7: Trang 69 – 70 SGK Toán 9 tập 2
Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q [h.8].
- Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?
- Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.
- Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.
Hình 8
Câu 8: Trang 70 – SGK Toán 9 tập 2
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
- Hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.
- Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn.
- Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
Câu 9: Trang 70 – SGK Toán 9 tập 2
Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho góc AOB = $100^{\circ}$, số đo cung AC = $45^{\circ}$. Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. [Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB].
VnDoc gửi tới các bạn Giải Toán 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Tài liệu tổng hợp câu hỏi và đáp án cho từng câu hỏi trong SGK Toán 9 trang 66, 67, 68, 69, 70, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức được học và luyện giải Toán 9 hiệu quả. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.
A. Trả lời câu hỏi trang 66, 67 SGK Toán 9 tập 1
Câu hỏi 1 trang 66 SGK Toán 8 tập 1
Xét hình 1. Chứng minh . Từ đó suy ra hệ thức [2]
Lời giải chi tiết
Ta có:
Mà
Xét tam giác AHB và tam giác CHA có:
![\begin{align} & \widehat{CAH}=\widehat{BAH} \ & \Rightarrow \Delta AHB\sim \Delta CHA \ \end{align}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5Cwidehat%7BCAH%7D%3D%5Cwidehat%7BBAH%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%5CDelta%20AHB%5Csim%20%5CDelta%20CHA%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D]
Vậy trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên hai cạnh huyền.
Câu hỏi 2 trang 67 SGK Toán 8 tập 1
Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức [3] bằng tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABD và tam giác CAB có:
chung
![\begin{align} & \widehat{BAC}=\widehat{ADB}={{90}^{0}} \ & \Rightarrow \Delta ABD\sim \Delta CAB \ & \Rightarrow \frac{AB}{CA}=\frac{AD}{BC} \ & \Rightarrow AB.BC=CA.AD \ \end{align}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5Cwidehat%7BBAC%7D%3D%5Cwidehat%7BADB%7D%3D%7B%7B90%7D%5E%7B0%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%5CDelta%20ABD%5Csim%20%5CDelta%20CAB%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%5Cfrac%7BAB%7D%7BCA%7D%3D%5Cfrac%7BAD%7D%7BBC%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20AB.BC%3DCA.AD%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D]
Vậy ta có trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
B. Giải bài tập Toán 9 trang 68, 69 tập 1
Bài 1 [trang 68 SGK Toán 9 Tập 1]
Hãy tính x và y trong mỗi hình sau [hình 4a, b]:
Hướng dẫn giải:
- Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Hay: x = 3,6; y = 6,4
- Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới
Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
Hayx = 7,2; y = 12,8
Bài 2 [trang 68 SGK Toán 9 Tập 1]
Hãy tính x và y trong hình dưới đây:
Hướng dẫn giải:
Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4 = 5
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:
Bài 3 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]
Hãy tính x và y trong hình sau:
Hướng dẫn giải:
Xét vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:
![\Leftrightarrow y^2=5^2+7^2 \Leftrightarrow y^2=25+49][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20y%5E2%3D5%5E2%2B7%5E2%0A%0A%5CLeftrightarrow%20y%5E2%3D25%2B49]
![\Leftrightarrow y^2=74 \Leftrightarrow y=\sqrt{74}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20y%5E2%3D74%0A%0A%5CLeftrightarrow%20y%3D%5Csqrt%7B74%7D]
Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:
![\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B7%5E2%7D%0A%0A%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B25%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B49%7D]
![\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{49}{25.49}+\dfrac{25}{25.49} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{49+25}{25.49}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B49%7D%7B25.49%7D%2B%5Cdfrac%7B25%7D%7B25.49%7D%0A%0A%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B49%2B25%7D%7B25.49%7D]
![\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{74}{1225} \Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{1225}{74}}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B74%7D%7B1225%7D%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B1225%7D%7B74%7D%7D]
Vậy
Bài 4 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]
Hãy tính x và y trong hình sau:
Hướng dẫn giải:
Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới
Áp dụng hện thức h2 = b'c' ta có:
Nhận xét: Ta có thể tính y theo định lý Pi-ta-go:
C. Giải bài tập Toán 9 trang 69, 70 phần Luyện tập
Bài 5 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có:
CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2
Bài 6 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Bài 7 [trang 69 SGK Toán 9 Tập 1]
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b [tức là x2=ab ] như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức [1] và [2], hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên.
Xét tam giác ABC ta có:
]
Suy ra ∆ABC vuông tại A.
Áp dụng hệ thức h2 = b'c' ⇒ x2 = ab
Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới
Xét tam giác ABC ta có:
]
Suy ra ∆ABC vuông tại A.
Áp dụng hệ thức AB2=BC.BH⇒x2=ab
Bài 8 [trang 70 SGK Toán 9 Tập 1]
Tìm x và y trong mỗi hình sau:
Hướng dẫn giải:
- Dùng hệ thức lượng bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền h2=b′c′
⇒ x2 =4.9 = 36 ⇒ x = 6
- Xét tam giác ABC có cạnh huyền là 2x, ta nhận thấy rằng, tam giác này là tam giác vuông cân. Mặc khác, đường cao của tam giác này có độ lớn bằng 2 nên:
- Xét tam giác vuông lớn, ta có:
122 = 16x ⇒ x = 9
Xét tam giác vuông có cạnh huyền là y, ta có:
Bài 9 [trang 70 SGK Toán 9 Tập 1]
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
- Tam giác DIL là một tam giác cân;
- Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Hướng dẫn giải:
- Xét có:
AD=CD [hai cạnh hình vuông]
]
Do đó [g.c.g]
Suy ra DI=DL.
Vậy cân [đpcm].
- Xét vuông tại D, đường cao DC.
Áp dụng hệ thức , ta có:
[mà DL=DI]
Suy ra
Do DC không đổi nên là không đổi.
Nhận xét: Câu a] chỉ là gợi ý để làm câu b]. Điều phải chứng minh ở câu b] rất gần với hệ thức
Nếu đề bài không cho vẽ DL ⊥ DK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DL ⊥ DK để có thể vận dụng hệ thức trên.
...............................
Bài tiếp theo: Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Xem thêm:
- Toán 9 Bài 1
- Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn tài liệu Giải bài tập Toán 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Hy vọng thông qua tài liệu này, các em học sinh sẽ biết cách giải các bài tập trong SGK Toán lớp 9, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9 và học tốt Toán 9 hơn. Để xem lời giải những bài tiếp theo, mời các bạn vào chuyên mục Soạn Toán 9 trên VnDoc nhé.
Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Toán lớp 9, Giải bài tập Toán lớp 9, Tài liệu học tập lớp 9, và các đề học kì 1 lớp 9; đề thi học kì 2 lớp 9 được cập nhật liên tục trên VnDoc.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất