Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Giới hạn của hàm số [Lý thuyết Toán lớp 11] | Kết nối tri thức
Quảng cáo
Lý thuyết Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm
- Giả sử [a; b] là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; b], có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số [xn] bất kì, xn ∈ [a; b], xn ≠ x0 và xn → x0, ta có f [xn] → L, kí hiệu limx→x0 f[x] = L hay f[x] → L khi x → x0.
- Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:
- Nếu limx→x0 f[x] = L và limx→x0 g[x] = M thì
limx→x0 [f[x] + g[x]] =L+M;
Quảng cáo
limx→x0 [f[x] - g[x]] =L-M;
limx→x0 [f[x] . g[x]] =L.M;
limx→x0 \= LM, nếu M ≠ 0.
- Nếu f[x] ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b] \ {x0} và limx→x0 f[x] = L thì L ≥ 0 và
Chú ý:
limx→x0c = c với c là hằng số.
limx→x0xn=x0n với n ∈ ℕ.
Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx→2 x2+x−2x−1.
Hướng dẫn giải
Quảng cáo
1.2. Khái niệm giới hạn một bên
• Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [x0; b]. Ta nói số L là giới hạn bên phải của f[x] khi x → x0 nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có f[xn] → L, kí hiệu limx→x0+ f[x] = L.
• Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; x0]. Ta nói số L là giới hạn bên trái của f[x] khi x → x0 nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có f[xn] → L, kí hiệu limx→x0− f[x] = L.
Chú ý: limx→x0f[x] = L khi và chỉ khi limx→x0+f[x] = limx→x0−f[x] = L.
Quảng cáo
Ví dụ: Tính limx→2−2−x.
Hướng dẫn giải
Xét dãy số [xn] bất kì, xn < 2 và xn → 2, ta có:
limx→2−[2-xn] =2−limx→2−xn = 2-2 = 0. Suy ra limx→2−2−xn = 0.
Vậy limx→2−2−x= 0.
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
• Khái niệm giới hạn tại vô cực:
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; +∞]. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn xn > a và xn → +∞, ta có f[xn] → L, kí hiệu limx→+∞ f[x] = L hay f[x] → L khi x → +∞.
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [–∞; b]. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn xn < b và xn → –∞, ta có f[xn] → L, kí hiệu limx→−∞ f[x] = L hay f[x] → L khi x → –∞.
• Chú ý:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực. - Với c là hằng số, ta có: limx→+∞ c = c, limx→−∞c = c.
- Với k là một số nguyên dương, ta có: limx→+∞ 1xk= 0, limx→−∞ 1xk= 0.
- Lưu ý: ab = .
Ví dụ: Tính limx→−∞x2+1x.
Hướng dẫn giải
Ta có
3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
3.1. Giới hạn vô cực
• Khái niệm giới hạn vô cực
Giả sử khoảng [a; b] chứa x0 và hàm số y = f[x] xác định trên [a; b] \ {x0}. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với dãy số [xn] bất kì, xn ∈ [a; b] \ {x0}; xn → x0, ta có f[xn] → +∞, kí hiệu limx→x0 f[x] = +∞.
Ta nói hàm số f[x] có giới hạn –∞ khi x → x0, kí hiệu limx→x0 f[x] = -∞, nếu limx→x0 [-f[x]] = +∞.
• Giới hạn một bên:
- Cho hàm số = f[x] xác định trên khoảng [x0; b]. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn x0 < xn < b, xn → x0, ta có f[xn] → +∞, kí hiệu limx→x0+ f[x]= +∞.
- Cho hàm số = f[x] xác định trên khoảng [a; x0]. Ta nói hàm số f[x] có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên trái nếu với dãy số [xn] bất kì thỏa mãn a < xn < x0, xn → x0, ta có f[xn] → +∞, kí hiệu limx→x0− f[x] = +∞ .
- Các giới hạn một bên limx→x0+ f[x]= −∞, limx→x0− f[x] = −∞ được định nghĩa tương tự.
Chú ý: Các giới hạn limx→+∞ f[x] = +∞, limx→−∞ f[x] = +∞, limx→+∞ f[x]=-∞ và limx→−∞ f[x]=-∞ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f[x] tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f[x], xác định trên khoảng [a; +∞], có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số [xn] bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f[xn] → –∞, kí hiệu limx→+∞ f[x] = -∞ hay f[x] → –∞ khi x → +∞.
Một số giới hạn đặc biệt:
+] limx→+∞ xk= +∞ với k nguyên dương;
+] limx→−∞ f[x] = +∞ với k là số chẵn;
+] limx→−∞ f[x] = -∞ với k là số lẻ.
Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx→+∞ 5x2−3xx2+2.
Hướng dẫn giải
3.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.
Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.
• Quy tắc tìm giới hạn của tích f[x]. g[x].
Giả sử limx→x0 f[x] = L≠ 0 và limx→x0 g[x] = +∞ [hoặc –∞]. Khi đó limx→x0f[x]g[x] được tính theo quy tắc trong bảng sau:
limx→x0 f[x]
limx→x0 g[x]
limx→x0 f[x]g[x]
L > 0
+∞
+∞
–∞
–∞
L < 0
+∞
–∞
–∞
+∞
• Quy tắc tìm giới hạn của thương .
limx→x0 f[x]
limx→x0 g[x]
Dấu của g[x]
limx→x0
L
±∞
Tùy ý
0
L > 0
0
+
+∞
–
–∞
L < 0
0
+
–∞
–
+∞
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0+, x → x0−.
Ví dụ: Tìm limx→0 2x + 2x2.
Hướng dẫn giải
Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.
Giới hạn của tử số limx→0 [2x+2] = 2.
Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và limx→0 x2 = 0.
Do vậy limx→0 2x + 2x2= +∞.
Bài tập Giới hạn của hàm số
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
- limx→3 x2+12x;
- limx→1 x2+x − 2x − 1.
Hướng dẫn giải
\= 3 ⋅ 3 + 123 = 53
- Vì [x – 1] → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
Nhưng với x ≠ 1, ta có:
limx→1 x2+x − 2x − 1 =\= limx→1 [x+2] = 3.
Bài 2: Tìm các giới hạn một bên:
- limx→1+ x − 3x − 1;
- limx→4− x2−2x + 34 −x.
Hướng dẫn giải
- Ta có: limx→1+[x-1] = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1
limx→1+ [x-3] = 1-3 = -2 0 với mọi x < 4
limx→4− [x2-2x+3] = 42-8+3 = 11 > 0
Do đó: limx→4− x2−2x + 34 −x = +∞.
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
- limx→+∞[x3-2x];
- limx→−∞[x3-3x];
- .
Hướng dẫn giải
- Ta có: limx→1−[x-1] = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.
limx→1− [2x - 4] = 2.1 - 4 = -2