Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y=fx là −2; 0; 2; a; 6 với 40 ,
Xét hàm số gt=t3−3t có đồ thị như hình vẽ sau:
Từ đồ thị ta thấy:
Phương trình 3 có nghiệm kép t1=1 , trường hợp này ta không có cực trị.
Phương trình 4 có một nghiệm 1 f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.
3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.
Chú ý:
1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lí 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Tìm cực trị của hàm số hợp f[u[x]] khi biết đồ thị hàm số f[x] - 50 bài toán ôn thi THPTQG
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 658 KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Đạo hàm của hàm số hợp: . g x f u x g x u x f u x . 0 0 0 u x g x f u x Lập bảng biến thiên của hàm số y f x khi biết đồ thị hàm số y f x B1. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành B2: Xét dấu của hàm số y f x , ta làm như sau - Phần đồ thị của f x nằm bên trên trục hoành trong khoảng ; a b thì 0 f x , ; x a b - Phần đồ thị của f x nằm bên dưới trục hoành trong khoảng ; a b thì 0 f x , ; x a b Lập bảng biến thiên của hàm số g x f x u x khi biết đồ thị hàm số y f x B1: Đạo hàm g x f x u x . Cho 0 g x f x u x B2. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đồ thị hàm số y u x B3: Xét dấu của hàm số y g x , ta làm như sau - Phần đồ thị của f x nằm bên trên đồ thị u x trong khoảng ; a b thì 0 g x , ; x a b - Phần đồ thị của f x nằm bên dưới đồ thị u x trong khoảng ; a b thì 0 g x , ; x a b BÀI TẬP MẪU Cho hàm số bậc bốn [ ] y f x có đồ thị như hình bên Số điểm cực trị của hàm số 3 2 [ ] 3 g x f x x là A. 5 . B. 3 C. 7 . D. 11. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP f [ u [x ]] KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f [x]NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 659 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm hợp f u x khi biết đồ thị hàm số f x . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Đạo hàm của hàm hợp: . f u x u x f u Định lí về cực trị của hàm số: Cho hàm số y f x xác định trên D . Điểm 0 x D là điểm cực trị của hàm số y f x khi 0 0 f x hoặc 0 f x không xác định và f x đổi dấu khi đi qua 0 x . Sự tương giao của hai đồ thị: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y f x và y g x là nghiệm của phương trình 1 f x g x Số nghiệm của phương trình 1 bằng số giao điểm của hai cực trị. Tính chất đổi dấu của biểu thức: Gọi x là một nghiệm của phương trình: 0 f x . Khi đó Nếu x là nghiệm bội bậc chẳn [ 2 4 , ,... x x ] thì hàm số y f x không đổi dấu khi đi qua . Nếu x là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ [ 3 , ,... x x ]thì hàm số y f x đổi dấu khi đi qua . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm của hàm số: 3 2 [ ] 3 g x f x x B2: Dựa vào đồ thị của hàm f x ta suy ra số nghiệm của phương trình : [ ] 0 g x B3: Lập bảng biến thiên của hàm số 3 2 [ ] 3 g x f x x và suy ra số cực trị. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 660 c b a Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của [ ] y f x như sau: 3 2 3 2 3 2 3 2 2 [ ] 3 [ ] 3 3 3 6 3 g x f x x g x x x f x x x x f x x 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 0 3 6 0 3 0 1 [ ] 0 3 6 3 0 0 3 3 3 ; 2 4 0 4 3 x x x x x x g x x x f x x f x x x x x x a b c Xét hàm số 3 2 [ ] 3 h x x x 2 [ ] 3 6 h x x x 0 [ ] 0 2 x h x x Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta thấy Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 1 điểm Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 3 điểm. Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 1 điểm. Như vậy, phương trình [ ] 0 g x có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số 3 2 [ ] 3 g x f x x có 7 cực trị.NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 661 Cách trình bày khác: Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng đồ thị [hoặc bảng biến thiên] của hàm số y f x [hoặc y f x ] để tìm cực trị hàm số g x f u x . 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Lập bảng biên thiên của hàm số y f x - Dựa vào đồ thị hàm số y f x xác định cực trị của hàm số y f x . - Lập bảng biến thiên x a b c f x 0 0 0 f x B2: Tìm các điểm tới hạn của hàm số 3 2 3 g x f x x - Đạo hàm 2 3 2 3 6 . 3 g x x x f x x - Cho 0 g x 2 3 2 3 6 0 3 0 x x f x x 3 2 3 2 3 2 0 2 3 ; 0 3 ; 0 4 3 ; 4 x x x x a a x x b b x x c c B3: Khảo sát hàm số 3 2 3 h x x x để tìm số giao điểm của đồ thị 3 2 3 h x x x với các đường thẳng , , y a y b y c Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 662 Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau x a b c f x 0 0 0 f x Ta có 3 2 3 g x f x x 2 3 2 3 6 . 3 g x x x f x x Cho 0 g x 2 3 2 3 6 0 3 0 x x f x x 3 2 3 2 3 2 0 2 3 ; 0 3 ; 0 4 3 ; 4 x x x x a a x x b b x x c c Xét hàm số 3 2 3 h x x x 2 3 6 h x x x . Cho 0 h x 0 2 x x Bảng biến thiên Ta có đồ thị của hàm 3 2 3 h x x x như sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x tại 3 điểm. Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x tại 1 điểm. Như vậy phương trình 0 g x có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 663 Vậy hàm số 3 2 3 g x f x x có 7 cực trị. Bài tập tương tự và phát triển: Câu 46.1: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 3 . g x f x A. 2 . B. 3 C. 4 . D. 5. Lời giải Chọn B Ta có 2 2 3 g x xf x theo do thi ' 2 2 2 0 0 0 0 3 2 1 . 3 0 2 nghiem kep 3 1 nghiem kep f x x x x g x x x f x x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 46.2: Cho hàm số [ ] y f x có đạo hàm '[ ] f x trên và đồ thị của hàm số '[ ] f x như hình vẽ. Tìm số điểm cực trụ hàm số 2 [ 2 1] g x f x x . A. 6. B. 5 . C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn D NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 664 Ta có: 2 ' [2 2] '[ 2 1 ] g x x f x x . Nhận xét: 2 2 1 ' 0 2 1 1 2 1 2 x g x x x x x 0 1 2; 3 x x x x Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị. Câu 46.3: Cho hàm số bậc bốn y f x . Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm ' f x . Hàm số 2 2 2 g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 1 2 2 . 2 2 x g x f x x x x Suy ra 2 theo do thi ' 2 2 2 1 0 1 1 0 2 2 1 0 1 2. 2 2 0 2 2 1 1 2 2 2 3 f x x x x x x g x x f x x x x x x x Bảng xét dấu Từ đó suy ra hàm số 2 2 2 g x f x x có 3 điểm cực trị. Câu 46.4: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của y f x như sau Hỏi hàm số 2 2 g x f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu ?NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 665 A. 1. B. 2 C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2 2 ; g x x f x x 2 theo BBT ' 2 2 2 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 1 nghiem kep 2 3 1 1 2 nghiem kep . 1 3 f x x x x x g x f x x x x x x x x x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu. Câu 46.5: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 2 4 4 y f x x là A. 9. B. 5. C. 7 . D. 3. Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta có: 0 f x ; 1 1;0 0;1 1; x a x b x c x d . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 666 Ta có: 2 8 4 4 4 y x f x x , 0 y 2 8 4 0 4 4 0 x f x x 2 2 2 2 1 2 4 4 ; 1 4 4 1;0 4 4 0;1 4 4 1; x x x a x x b x x c x x d . Ta có khi 2 1 4 4 1 2 x x x và 1 3 0 f Mặt khác: 2 2 4 4 2 1 1 1 x x x nên: 2 4 4 x x a vô nghiệm. 2 4 4 x x b có 2 nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . 2 4 4 x x c có 2 nghiệm phân biệt 3 x , 4 x . 2 4 4 x x d có 2 nghiệm phân biệt 5 x , 6 x . Vậy phương trình 0 y có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. Câu 46.6: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau Số điểm cực trị của hàm số 2 2 y f x x là A. 9. B. 3. C. 7 . D. 5. Lời giải Chọn B NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 667 Từ bảng biến thiên ta có phương trình 0 f x có các nghiệm tương ứng là , ; 1 , 1;0 ,c 0;1 , 1; x a a x b b x c x d d . Xét hàm số 2 2 2 2 1 2 y f x x y x f x x . Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 2 4 x x x a x y x f x x x x b f x x x x c x x d . Vẽ đồ thị hàm số 2 2 h x x x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình 1 vô nghiệm. Các phương trình 2 ; 3 ; 4 mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau. Vậy phương trình 0 y có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số 2 2 y f x x có 7 điểm cực trị. Câu 46.7: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên khoảng ; . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ Đồ thị của hàm số 2 y f x có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu? A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 668 C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên 2 y f x 2 . 0 y f x f x 0 0 f x f x . Quan sát đồ thị ta có 0 0 1 3 x f x x x và 1 2 0 1 x x f x x x x với 1 0;1 x và 2 1;3 x . Suy ra 0 0 0 0 0 f x f x y f x f x 1 2 3; 0; 1; x x x x 1 2 0; 1; 3; x x x Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số 2 y f x Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 46.8: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số 2 3 g x f x x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 3 . B. 4 C. 5 . D. 6 . Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 669 Chọn B Ta có 2 2 3 . 3 ; g x x f x x theo do thi 2 2 2 3 3 2 2 2 3 0 3 17 0 3 2 . 3 0 2 3 0 0 3 f x x x x g x x x x f x x x x x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị. Câu 46.9: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g x f f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại 0, 2. x x Suy ra 0 nghiem don 0 . 2 nghiem don x f x x Ta có 0 . ; 0 . 0 f x g x f x f f x g x f f x 0 nghiem don 0 . 2 nghiem don x f x x 0 1 0 . 2 2 f x f f x f x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 670 Dựa vào đồ thị suy ra: Phương trình 1 có hai nghiệm 0 x [nghiệm kép] và 2 . x a a Phương trình 2 có một nghiệm . x b b a Vậy phương trình 0 g x có 4 nghiệm bội lẻ là 0, 2, x x x a và . x b Suy ra hàm số g x f f x có 4 điểm cực trị. Câu 46.10: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số điểm cực trị của hàm số 4 2 [ ] 4 g x f x x là A. 5 . B. 3 C. 7 . D. 11. Lời giải Chọn B c b a Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của [ ] y f x như sau: NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 671 2 2 4 4 2 4 3 4 2 [ ] 4 [ ] 4 4 4 8 4 g x f x x g x x x f x x x x f x x 3 4 3 4 2 2 2 2 2 4 4 4 2 0 4 8 0 4 [ ] 0 4 8 4 0 4 0 4 0 1 0;4 4 4 2 3 x x x x x x g x x x f x x f x x x x x x a b c Xét hàm số 4 2 [ ] 4 h x x x 3 [ ] 4 8 h x x x 0 [ ] 0 2 x h x x Bảng biến thiên 2 ∞ ∞ 4 4 ∞ ∞ 0 + + 2 h x [ ] h' x [ ] x 0 0 0 + 0 Từ bảng biến thiên, ta thấy Đường thẳng 0 y a cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 2 điểm Đường thẳng 0;4 y b cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 4 điểm. Đường thẳng 4 y c cắt đồ thị hàm số [ ] y h x tại 0 điểm. Như vậy, phương trình [ ] 0 g x có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số 3 2 [ ] 3 g x f x x có 7 cực trị Câu 46.11: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Tìm số điểm cực trị của hàm số 3 . g x f x A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có 3 . g x f x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 672 theo BBT 3 0 3 0 3 0 . 3 2 1 x x g x f x x x g x không xác định 3 1 2. x x Bảng biến thiên Vậy hàm số 3 g x f x có 3 điểm cực trị. Câu 46.12: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số 2 y f x x là: A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B Đặt 2 g x f x x suy ra 0 1 0 2 0 2 1 x g x f x f x x x . Dựa vào đồ thị ta có: Trên ; 1 thì 2 2 0 f x f x . Trên 0 1; x thì 2 2 0 f x f x . Trên 0 ; x thì 2 2 0 f x f x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 673 Vậy hàm số 2 g x f x x có 1 cực trị. Câu 46.13: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số 3 g x f x x có bao nhiểu điểm cực trị ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có 3; 0 3. g x f x g x f x Suy ra số nghiệm của phương trình 0 g x chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f x và đường thẳng 3. y Dựa vào đồ thị ta suy ra 1 0 0 . 1 2 x x g x x x Ta thấy 1, 0, 1 x x x là các nghiệm đơn và 2 x là nghiệm kép nên đồ thị hàm số 3 g x f x x có 3 điểm cực trị Câu 46.14: Cho hàm số [ ] y f x có đạo hàm trên . Đồ thị của hàm số '[ ] y f x như hình vẽ. y x 2 3 1 O -2 -1 Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 [ ] 2 [ ] 2 2017 g x f x x x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 674 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có '[ ] 2 '[ ] 2 2 2 '[ ] [ 1] g x f x x f x x . Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng 1 y x cắt đồ thị hàm số '[ ] y f x tại 3 điểm: [ 1 ; 2], [1 ;0], [3 ;2]. y x 2 3 1 O -2 -1 Dựa vào đồ thị ta có 1 '[ ] 0 2 '[ ] [ 1] 0 1 3 x g x f x x x x đều là các nghiệm đơn Vậy hàm số [ ] y g x có 3 điểm cực trị. Câu 46.15: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số 2 2 g x f x x đạt cực tiểu tại điểm A. 1. x B. 0. x C. 1. x D. 2. x Lời giải Chọn B Ta có 2 2 ; 0 . g x f x x g x f x x Suy ra số nghiệm của phương trình 0 g x chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f x và đường thẳng . y x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 675 Dựa vào đồ thị ta suy ra 1 0 0 . 1 2 x x g x x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại 0. x Câu 46.16: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số 3 2 2 3 x g x f x x x đạt cực đại tại. A. 1 x . B. 0 x . C. 1 x . D. 2 x . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 1; 0 1 . g x f x x x g x f x x Suy ra số nghiệm của phương trình 0 g x chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f x và parapol 2 : 1 . P y x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 676 Dựa vào đồ thị ta suy ra 0 0 1 . 2 x g x x x Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại 1. x Câu 46.17: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Lời giải Số điểm cực trị của hàm số 3 3 15 1 g x f x x x là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 3 3 15; 0 5 . g x f x x g x f x x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 677 Đồ thị hàm số f x cắt đồ thị hàm số 2 5 y x tại hai điểm 0;5 , 2;1 . A B Trong đó 0 x là nghiệm bội bậc 2; 2 x là nghiệm đơn. Vậy hàm số có một điểm cực trị Câu 46.18: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số 2 3 g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau x 2 0 f x 0 0 f x 2 2 Ta có 2 3 g x f x x 2 2 3 . 3 g x x f x x Cho 0 g x 2 2 3 0 3 0 x f x x 2 2 3 2 3 2 3 0 x x x x x 3 2 3 17 2 0 3 x x x x Như vậy phương trình 0 g x có tất cả 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số 2 3 g x f x x có 5 cực trị.NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 678 Câu 46.19: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số 2 y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn A Gọi x a , với 1 4 a là điểm cực tiểu của hàm số y f x Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau x 0 a f x 0 0 f x Ta có 2 y f x 2 2 . y x f x Cho 0 y 2 2 0 0 x f x 2 2 0 0 x x x a 0 x x a , với 1 4 a Bảng biến thiên của hàm số 2 y f x x a 0 a y 0 0 0 y Vậy hàm số 2 y f x có 3 cực trị.NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 679 Câu 46.20: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới Số điểm cực trị của hàm số 2 2 y f x x là A. 3. B. 9. C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau x 1 0 1 f x 0 0 0 f x 3 2 1 Ta có 2 2 y f x x 2 2 2 . 2 y x f x x Cho 0 y 2 2 2 0 2 0 x f x x 2 2 2 1 2 1 2 0 2 1 x x x x x x x 1 2 0 1 2 x x x x Bảng biến thiên của hàm số 2 2 y f x x x 1 2 2 1 0 1 2 y 0 0 0 0 0 y Vậy hàm số 2 2 y f x x có 5 cực trị. Câu 46.21: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 680 Số điểm cực trị của hàm số 6 3 y f x là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C. Ta có 3. 6 3 y f x . Cho 0 y 6 3 3 6 3 1 6 3 3 x x x 3 5 3 1 x x x Bảng biến thiên x 1 5 3 3 y 0 0 0 Nhận xét: y đổi dấu 3 lần khi đi qua các nghiệm nên phương trình 0 y có 3 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số 6 3 y f x có 3 cực trị. Câu 46.22: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 2 5 g x f x là A. 7 . B. 1. C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Ta có 2 2 . 5 g x x f x . Cho 0 g x 2 2 0 5 0 x f x 2 2 2 2 0 5 , 5 5 , 5 2 5 , 2 3 5 , 3 x x a a x b b x c c x d d Phương trình 2 5 0 x a , 5 a nên phương trình vô nghiệm. Phương trình 2 5 0 x b , 5 2 b nên phương trình 2 nghiệm phân biệt. x 3 1 3 f x 3 3 2 x 5 2 3 f x 5 3 1 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 681 Phương trình 2 5 0 x c , 2 3 c nên phương trình 2 nghiệm phân biệt. Phương trình 2 5 0 x d , 3 d nên phương trình 2 nghiệm phân biệt. Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình 0 g x có 7 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số 2 5 g x f x có 7 cực trị. Câu 46.23: Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 2 1 g x f x là A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Ta có 2 2 1 2 1 g x f x f x x 2 2 2 . 2 1 g x x f x x . Cho 0 g x 2 2 2 0 2 1 0 x f x x 2 2 2 1 2 1 , 0 2 1 , 0 ` 3 2 1 , 3 x x x a a x x b b x x c c 2 2 1 0 x x a có 4 0 a , 0 a nên phương trình vô nghiệm. 2 2 1 0 x x b có 4 0 b , 1 0 2 b nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 1 0 x x c có 4 0 c , 3 c nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nhận xét: 5 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình 0 g x có 5 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số 2 1 g x f x có 5 cực trị. Câu 46.24: Cho hàm số f x liên tục trên , bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 2 1 x g x f x là A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn A. x 0 3 f x 4 x 3 3 f x 4 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 682 Ta có 2 2 2 1 1 . x x g x f x x . Cho 0 g x 2 2 2 1 0 1 0 x x x f x 2 2 2 2 1 0 1 , 2 1 , 2 2 1 , 2 x x a a x x b a x x c c x 2 1 0 x có 2 nghiệm phân biệt 1 x . Xét hàm số 2 1 x h x x Tập xác định \ 0 D . Ta có 2 2 1 x h x x . Cho 0 h x 1 x . Bảng biến thiên x 1 0 1 f x 0 0 f x 2 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy h x a có 2 nghiệm phân biệt, với 2 a h x b vô nghiệm, với 2 2 b h x c có 2 nghiệm phân biệt, với 2 c Vậy hàm số 2 1 x g x f x có 6 điểm cực trị. Câu 46.25: Cho hàm số f x liên tục trên , bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 1 1 x g x f x là A. 8 . B. 7 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn A x 1 0 2 f x 1 2 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 683 Ta có 2 2 1 . 1 1 x g x f x x . Cho 0 g x 1 0 1 x f x 1 , 1 1 1 , 1 0 1 1 , 0 2 1 1 , 2 1 x a a x x b b x x c c x x d d x Xét hàm số 1 1 x h x x Tập xác định \ 1 D . Ta có 2 2 0, 1 h x x D x . Bảng biến thiên x 1 f x f x Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình h x a , h x b , h x c , h x d đều có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số 1 1 x g x f x có 8 cực trị Câu 46.26: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau x 1 0 1 f x 0 0 f x 1 2 1 Hàm số 3 1 g x f x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây? A. 1 x . B. 1 x . C. 1 x . D. 0 x . Lời giải Chọn C Ta có 3 g x f x Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số y f x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 684 Vậy điểm cực tiểu của hàm số là 1 x . Câu 46.27: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ Hàm số x g x f x 2 2020 2 đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 3. B. x 1 . C. x 3 . D. x 3 . Lời giải Chọn D Ta có g x f x x . Cho g x 0 f x x Nhận thấy đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y f x lần lượt tại ba điểm x x 3; 1. Ta có bảng biến thiên của hàm số x g x f x 2 2020 2 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 685 3 1 3 4 . 1 3 1 1 3 2 0 t x x f t t t x x Câu 46.28: Cho hàm số 4 3 2 y f x ax bx cx dx e , đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số y f x . Xét hàm số 2 2 g x f x . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g x đạt cực tiểu tại 2 x . B. Hàm số g x đạt cực đại tại 0 x . C. Hàm số g x có 5 điểm cực trị D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0; 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 [ ] 2 . 2 g x x f x . Cho x x x g x x x f x x x 2 2 2 0 0 0 0 2 1 1 2 0 2 2 2 Ta có bảng xét dấu NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 686 Câu 46.29: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên và đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số 2 2 1 g x f x x đạt cực đại tại giá trị nào sau đây? A. 2 x . B. 0 x . C. 1 x . D. 1 x . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 . 2 1 g x x f x x . Cho 2 2 1 0 2 1 1 2 1 2 x g x x x x x 0 1 2 3 x x x x Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại 1 x Câu 46.30: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên thoả mãn 2 2 0 f f và đồ thị của hàm số y f x có dạng như hình bên dưới. Hàm số 2 y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 687 A. 3 1; . 2 B. 1;1 . C. 2; 1 . D. 1;2 . Lời giải Chọn D Ta có 1 0 2 x f x x , với 2 2 0 f f . Ta có bảng biến thiên x 2 1 2 f x 0 0 0 f x 0 0 Ta có 2 2 . y f x y f x f x . Cho 0 2 0 1; 2 0 f x x y x x f x Bảng xét dấu x 2 1 2 f x 0 0 0 f x 0 0 2 y f x Câu 46.31: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới và 2 2 0. f f NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 688 Hàm số 2 3 g x f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 2; 1 . B. 1;2 . C. 2;5 . D. 5; . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số , y f x suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau Từ bảng biến thiên suy ra 0, . f x x Ta có 2 3 . 3 . g x f x f x Cho 0 g x 3 0 3 0 f x f x 3 2 5 3 1 2 3 2 1 x x x x x x Vì 0, 3 0, . f x x f x x Do đó 2 3 0 f x , . x Bảng biến thiên x 1 2 5 3 f x 0 0 0 2 3 f x 0 0 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 689 g x 0 0 0 Suy ra hàm số g x nghịch biến trên các khoảng ;1 , 2;5 . Câu 46.32: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới Hàm số 3 g x f x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau A. ; 1 . B. 1;2 . C. 2;3 . D. 4;7 . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số . y f x x 1 1 4 f x 0 0 0 f x Ta có 3 . Khi 3 3 3 . Khi 3 f x x g x f x f x x Với 3 x khi đó 3 g x f x Hàm số g x đồng biến 0 g x 3 1 4 3 0 3 0 1 3 4 1 2 x x f x f x x x Kết hợp điều kiện 3 x , ta được 1 2 x . Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;2 . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 690 Với 3 x khi đó 3 g x f x Hàm số g x đồng biến 0 g x 1 3 1 2 4 3 0 3 4 7 x x f x x x Kết hợp điều kiện 3 x , ta được 3 4 7 x x . Vậy hàm số g x đồng biến trên khoảng 3;4 và 7; Câu 46.33: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới Hàm số 2 4 3 g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 7 . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số . y f x x 1 1 3 f x 0 0 0 f x Ta có 2 4 3 g x f x x 2 2 2 . 4 3 4 3 x g x f x x x x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 691 Cho 2 2 0 0 2 2 0 x g x f x x 2 2 2 2 1 0 1 1 0 4 3 1 4 2 0 2 2 4 6 0 2 10 4 3 3 x x x x x x x x x x x x x Vì 0 g x có 5 nghiệm bội lẻ nên hàm số 2 4 3 g x f x x có 5 điểm cực trị. Câu 46.34: Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới Hàm số 2 2 2 3 2 2 g x f x x x x đồng biến trong khoảng nào sau đây A. ; 1 . B. 1 ; . 2 C. 1 ; . 2 D. 1; . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số . y f x x 1 2 f x 0 0 f x Ta có 2 2 2 3 2 2 g x f x x x x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 692 2 2 2 2 1 1 1 . 2 3 2 2 . 2 3 2 2 g x x f x x x x x x x x Dễ thấy 2 2 1 1 0 2 3 2 2 x x x x với mọi . x 1 Đặt 2 2 2 3 2 2 u u x x x x x Dễ thấy 2 2 2 3 2 2 0 x x x x 0 u x 2 Mặt khác 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 x x x x x x 1 u x 3 Từ 2 , 3 0 1 u x Kết hợp đồ thị ta suy ra 0 f u , với 0 1 u 4 Từ 1 và 4 g x ngược dấu với dấu của nhị thức 1 h x x Bảng biến thiên x 1 h x g x 0 g x Câu 46.35: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ x 1 3 f x 0 0 f x 5 3 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 693 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 1 3 1 f x m có nhiều nghiệm nhất? A. 0 m . B. 2 m . C. 0 2 m . D. 0 m . Lời giải Chọn C Đặt 1 3 1 g x f x 3. 1 3 g x f x Cho 0 g x 1 3 0 f x 1 3 1 1 3 3 x x 2 3 2 3 x x Bảng biến thiên x 2 3 2 3 g x 0 0 g x 2 6 g x 0 2 0 6 0 Để phương trình 1 3 1 f x m có nhiều nghiệm nhất đường thẳng y m cắt đồ thị y g x tại nhiều điểm nhất 0 2 m . Câu 46.36: Cho hàm số y f x xác định trên \ 0 và có bảng biến thiên như hình vẽ x 0 1 f x 0 f x 3 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 694 Số nghiệm của phương trình 3 2 1 10 0 f x là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn C Đặt 2 1 t x , phương trình đã cho trở thành 10 3 f t . Với mỗi nghiệm của t thì có một nghiệm 1 2 t x nên số nghiệm của phương trình 10 3 f t bằng số nghiệm của 3 2 1 10 0 f x . Bảng biến thiên của hàm số y f x là x 0 x 0 1 f x 0 3 Suy ra phương trình 10 3 f t có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình 3 2 1 10 0 f x có 4 nghiệm phân biệt. Câu 46.37: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Đồ thị của hàm số 3 g x f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5. Lời giải Chọn B Ta có 3 g x f x 2 3. . g x f x f x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Trang 695 Vì 2 0 f x , với mọi x nên 0 0 1 g x f x x Từ đó suy ra 3 g x f x có hai điểm.
Video liên quan