- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
- LG câu e
- LG câu g
- LG câu h
- LG câu i
Tính các nguyên hàm sau:
LG câu a
a] \[\int {x{{[3 - x]}^5}dx} \]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[t = 3 - x\].
Giải chi tiết:
Đặt \[t = 3 - x \Rightarrow dt = - dx\].
Khi đó \[\int {x{{[3 - x]}^5}dx} \] \[ = \int {\left[ {3 - t} \right].{t^5}.\left[ { - dt} \right]} \] \[ = \int {\left[ { - 3{t^5} + {t^6}} \right]dt} \] \[ = - 3.\dfrac{{{t^6}}}{6} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C\] \[ = \dfrac{{ - {{\left[ {3 - x} \right]}^6}}}{2} + \dfrac{{{{\left[ {3 - x} \right]}^7}}}{7} + C\]
LG câu b
b] \[\int {{{[{2^x} - {3^x}]}^2}} dx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \[\int {{a^x}dx} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\].
Giải chi tiết:
Ta có: \[\int {{{[{2^x} - {3^x}]}^2}} dx\]\[ = \int {\left[ {{2^{2x}} + {3^{2x}} - {{2.2}^x}{{.3}^x}} \right]dx} \] \[ = \int {{2^{2x}}dx} + \int {{3^{2x}}dx} - 2\int {{6^x}dx} \] \[ = \int {{4^x}dx} + \int {{9^x}dx} - 2.\int {{6^x}dx} \] \[ = \dfrac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \dfrac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2.\dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\].
LG câu c
c] \[\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[t = \sqrt {2 - 5x} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[t = \sqrt {2 - 5x} \Rightarrow {t^2} = 2 - 5x\] \[ \Rightarrow 2tdt = - 5dx \Rightarrow dx = - \dfrac{{2tdt}}{5}\]
Khi đó \[\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \] \[ = \int {\dfrac{{2 - {t^2}}}{5}.t.\left[ {\dfrac{{ - 2tdt}}{5}} \right]} \] \[ = - \dfrac{2}{{25}}\int {\left[ {2{t^2} - {t^4}} \right]dt} \] \[ = - \dfrac{2}{{25}}\left[ {\dfrac{2}{3}{t^3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right] + C\]
\[ = - \dfrac{4}{{75}}{\left[ {\sqrt {2 - 5x} } \right]^3} + \dfrac{2}{{125}}{\left[ {\sqrt {2 - 5x} } \right]^5} + C\]
LG câu d
d] \[\int {\dfrac{{\ln [\cos x]}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\]
Phương pháp giải:
Đặt \[u = \ln [\cos x],dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\] và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[u = \ln [\cos x],dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = - \tan x\\v = \tan x\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {\dfrac{{\ln [\cos x]}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\]\[ = \tan x\ln \left[ {\cos x} \right] + \int {{{\tan }^2}xdx} \]
\[ = \tan x\ln \left[ {\cos x} \right] + \int {\left[ {{{\tan }^2}x + 1 - 1} \right]dx} \] \[ = \tan x\ln \left[ {\cos x} \right] + \int {\left[ {{{\tan }^2}x + 1} \right]dx} + \int {dx} \]
\[ = \tan x\ln \left[ {\cos x} \right] + \tan x - x + C\] \[ = \tan x\left[ {\ln \left[ {\cos x} \right] + 1} \right] - x + C\]
LG câu e
e] \[\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\]
Phương pháp giải:
Đặt \[u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\] và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[u = x,dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\]\[ = - x\cot x + \int {\cot xdx} \] \[ = - x\cot x + \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} \] \[ = - x\cot x + \int {\dfrac{{d\left[ {\sin x} \right]}}{{\sin x}}} \]
\[ = - x\cot x + \ln \left| {\sin x} \right| + C\]
LG câu g
g] \[\int {\dfrac{{x + 1}}{{[x - 2][x + 3]}}dx} \]
Phương pháp giải:
Tách \[\dfrac{{x + 1}}{{[x - 2][x + 3]}} = \dfrac{3}{{5[x - 2]}} + \dfrac{2}{{5[x + 3]}}\] và tính nguyên hàm theo công thức \[\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{{\ln \left| {ax + b} \right|}}{a} + C\].
Giải chi tiết:
Ta có \[\dfrac{{x + 1}}{{[x - 2][x + 3]}} = \dfrac{3}{{5[x - 2]}} + \dfrac{2}{{5[x + 3]}}\]
Khi đó \[\int {\dfrac{{x + 1}}{{[x - 2][x + 3]}}dx} \]\[ = \int {\left[ {\dfrac{3}{{5[x - 2]}} + \dfrac{2}{{5[x + 3]}}} \right]dx} \] \[ = \dfrac{3}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x - 2}}} + \dfrac{2}{5}\int {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \]
\[ = \dfrac{3}{5}\ln \left| {x - 2} \right| + \dfrac{2}{5}\ln \left| {x + 3} \right| + C\] \[ = \dfrac{1}{5}\left[ {\ln {{\left| {x - 2} \right|}^3}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} \right] + C\]
LG câu h
h] \[\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\]
Phương pháp giải:
Đổi biến đặt \[t = \sqrt x \].
Giải chi tiết:
Đặt \[t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\].
Khi đó \[\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\]\[ = \int {\dfrac{1}{{1 - t}}.2tdt} = \int {\left[ { - 2 + \dfrac{2}{{1 - t}}} \right]dx} \]
\[ = - 2t - 2\ln \left| {1 - t} \right| + C\] \[ = - 2\sqrt x - 2\ln \left| {1 - \sqrt x } \right| + C\]
LG câu i
i] \[\int {\sin 3x\cos 2xdx} \]
Phương pháp giải:
Khai triển \[\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin x + \sin 5x} \right]\] và tính nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\sin 3x.\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin x + \sin 5x} \right]\].
Khi đó \[\int {\sin 3x\cos 2xdx} \]\[ = \dfrac{1}{2}\int {\left[ {\sin x + \sin 5x} \right]dx} \]
\[ = \dfrac{1}{2}\left[ { - \cos x - \dfrac{{\cos 5x}}{5}} \right] + C\]\[ = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos x + \dfrac{1}{5}\cos 5x} \right] + C\].