Trong toán học, phần tử đơn vị [hay còn gọi là phần tử trung hòa] là một phần tử đặc biệt của một tập hợp khi nói đến phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Nó không làm thay đổi phần tử còn lại khi thực hiện phép toán với phần tử đó. Khái niệm này được dùng trong lý thuyết nhóm và magma [đại số].
Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được gọi ngắn gọn là đơn vị nếu không bị hiểu nhầm.
Cho [S, *] là một tập S cùng với phép toán hai ngôi * trên nó, phần tử e được gọi là
- Đơn vị trái nếu a S , e a = a {\displaystyle \forall a\in S,e*a=a}
- Đơn vị phải nếu a S , a e = a {\displaystyle \forall a\in S,a*e=a}
- Đơn vị hai phía [hoặc đơn giản là đơn vị], nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Ví dụ
| Số thực | + [cộng] | 0 |
| Số thực | [nhân] | 1 |
| Số nguyên dương | Bội chung nhỏ nhất | 1 |
| Ma trận x n | + [cộng] | ma trận không |
| Ma trận vuông n x n | [nhân] | Ma trận đơn vị |
| Tất cả các hàm từ tập M lên chính nó | Hàm hợp | Ánh xạ đồng nhất |
| Các xâu ký tự | Phép nối xâu | Xâu rỗng |
| Tập có hai phần tử {e, f} | * Định nghĩa bởi e*e= f*e=e và f*f= e*f=f | Cả hai e và f là các đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải hay đơn vị hai phía |
Như trong ví dụ dưới cùng, [S,*] có thể có nhiều hơn một đơn vị trái. Thực tế là phần tử nào cũng có thể là đơn vị trái. Tương tự, có thể có nhiều đơn vị phải. Nhưng nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng bằng nhau và chỉ có đúng một đơn vị hai phía.
Cụ thể là: nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thìl=l*r=r. Vậy, không bao giờ có nhiều hơn một đơn vị hai phía.
Xem thêm
- Đơn vị cộng
- Đơn vị nhân
- Lý thuyết nhóm
- Nửa nhóm [Semigroup]
- Phần tử nghịch đảo [Inverse element]
- Tựa nhóm [Quasigroup]
- Vị nhóm [Monoid]
Tham khảo
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
|