I. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0]
Δ = b2 – 4ac
*] Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]
*] Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\]
*] Nếu Δ
III. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] và b = 2b’
Δ’ = b’2 – ac
*] Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]
*] Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\]
*] Nếu Δ’
IV. Hệ thức Viet và ứng dụng
1. Nếu \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] thì:
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 [Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0]
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}\]
V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 [a ≠ 0] có:
1. Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương[lớn hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm[nhỏ hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
B. Một số bài tập có lời giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\]
b] \[3{{x}^{2}}-5x=0\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
Giải
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\]
b]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\]
Nhẩm nghiệm:
Ta có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]-\left[ 2x+6 \right]=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ x+3 \right]-2\left[ x+3 \right]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ x+3 \right]\left[ {{x}^{2}}-2 \right]=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\left[ t\ge 0 \right].\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\]
a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
=> phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] [thỏa mãn]; \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4
Với: \[t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 1\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5
\[\Leftrightarrow \frac{\left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}+\frac{3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}=\frac{6\left[ x-5 \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}\]
\[\Rightarrow \left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]+3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]=6\left[ x-5 \right]\]
\[\Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30\]
\[\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+15x+4=0\]
\[\Delta ={{15}^{2}}-4.\left[ -4 \right].4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17\]
=> phương trình có hai nghiệm:
\[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left[ -4 \right]}=-\frac{1}{4}\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
\[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left[ -4 \right]}=4\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
a/ Giải phương trình với m = – 2.
b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\]
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a/ Thay m = – 2 vào phương trình [1] ta có phương trình:
\[{{x}^{2}}-2x+1=0\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ x-1 \right]}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow x-1=0\]
\[\Leftrightarrow x=1\]
Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-4m-12\]
Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
*] \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left[ -m \right]}^{2}}-2\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-2m-6\]
*] \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]={{\left[ -m \right]}^{3}}-3\left[ m+3 \right]\left[ -m \right]=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\]
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\]
Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\]
Δ’[m] = [-1]2 – 1.[-15] = 1 + 15 = 16 > 0
=> phương trình có hai nghiệm: \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\]; \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\]
Thử lại :
+] Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7 loại.
+] Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn.
Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\]
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\] [c]
Từ [a] và [c] ta có hệ phương trình:
Thay
\[\left[ -3m-5 \right]\left[ 2m+5 \right]=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\]
\[{{\Delta }_{\left[ m \right]}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\]
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\]
Thử lại:
+] Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn.
+] Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn.
Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Phương trình [1] có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ -3 \right]}^{2}}+m.\left[ -3 \right]+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\]
Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left[ -3 \right]\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\]
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\].
f/ Phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac
Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
Vậy hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m là: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]-3=0\]
Bài 3: Cho phương trình [m-1]x2 + 2x – 3 = 0 [1] [tham số m]
a] Tìm m để [1] có nghiệm
b] Tìm m để [1] có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó?
c] Tìm m để [1] có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại [nếu có]?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a] + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’=12 – [-3][m-1] = 3m – 2
[1] có nghiệm ⇔ Δ’ = 3m-2 ≥ 0 \[\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}\]
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \[m\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm
b]
+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’ = 1 - [-3][m-1] = 3m - 2
[1] có nghiệm duy nhất ⇔ Δ’ = 3m-2 = 0 \[\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\] [thoả mãn m ≠ 1]
Khi đó \[x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3\]
+] Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{3}{2}\]
Với \[m=\frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c] Do phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=2\] nên ta có:
\[\left[ m-1 \right]{{2}^{2}}+2.2-3=0\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\] Khi đó [1] là phương trình bậc hai [do \[m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0\]]
Theo định lí Viet ta có: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\] ⇒ x2 = 6
Vậy \[m=\frac{3}{4}\] và nghiệm còn lại là \[{{x}_{2}}=6\]
Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2[m-1]x – 3 – m = 0
a] Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] với mọi m
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d] Tìm m sao cho nghiệm số \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] của phương trình thoả mãn \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]
e] Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m
f] Hãy biểu thị \[{{x}_{1}}\] qua \[{{x}_{2}}\]
Bài 5. Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1= 0 [m là tham số]
a] Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\]
c] Lập phương trình ẩn y thoả mãn \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\]; với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình ở trên