Phương trình bậc nhất hai ẩn 2 x + y = 4 có bao nhiêu nghiệm

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cơ bản:

1. Khái niệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:

ax + by = c                  [1]

Trong đó a, b và cc là các số đã biết [a ≠ b hoặc b ≠ 0].

2. Tập hợp nghiệm của phương trình:

a] Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số

[x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.

b] Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,

kí hiệu là [d].

–  Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c – ax}{b} & & \end{matrix}\right.\] hoặc \[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c – by}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.

– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c}{b} & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Ox

– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Oy.

Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.. Bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2 – Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

7. Cho hai phương trình \[2x + y = 4\] và \[3x + 2y = 5\].

a] Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b] Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

a] \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} – 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{1 \over 2}  y{\rm{ }} + {\rm{ }}2\].

Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:

\[\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = – 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\] hoặc \[\left\{ \matrix{x = – {1 \over 2}y + 2 \hfill \cr y \in R \hfill \cr} \right.\]

\[3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y =  – {3 \over 2}x + {5 \over 2}\].

Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau: 

\[\left\{ \matrix{ x \in R\hfill \cr

y = – {3 \over 2}x + {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]

b] Vẽ [d1]: \[2x + y = 4\]

– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 4\] được \[A[0; 4]\].

– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 2\] được \[B[2; 0]\].

Vẽ [d2]: \[3x + 2y = 5\]

– Cho \[x = 0 \Rightarrow y = {5 \over 2}\] ,ta được \[M\left[ {0;{5 \over 2}} \right]\].

– Cho \[y = 0 \Rightarrow x = {5 \over 3}\] ,ta được \[N \left[ {{5 \over 3};0} \right]\].

Hai đường thẳng cắt nhau tại \[D[3; -2]\].

Thay \[x = 3, y = -2\] vào từng phương trình ta được:

\[2 . 3 + [-2] = 4\] và \[3 . 3 + 2 . [-2] = 5\] [thỏa mãn]

Vậy [x = 3; y = -2] là nghiệm chung của các phương trình đã cho.

§2. Hệ hai phương trình bạc nhất hai ẩn Có thể tìm nghiệm của một hệ phương trình bằng cách vẽ hai đường thẳng được không ? Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhâ't hai ẩn Xét hai phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y = 3 và X - 2y = 4. Kiểm tra rằng cặp Sỡ [x ; y] = [2 ; -1] vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai. Ta nói rằng cặp số [2 ; -1] là một nghiệm của hệ phương trình 2x + y = 3 X - 2y = 4’ Tổng quát, cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn [!] ax + by = c a'x + b'y = c' Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung [x0 ; yo]thì [x0 ; y0] được gọi là một nghiệm của hệ [I]. Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ [I] vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm [tìm tập nghiệm] của nó. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn T?777 rá thích hợp để điền vào chỗ trống [...] trong câu sau : Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì toạ độ [x0 ’, y0] của điểm M là một ... của phương trình ax + by = c. Từ đó suy ra : Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi [d] là đường thẳng ax + by = c và [d'] là đường thẳng a'x + b'y = c' thì điểm chung [nếu có] của hai đường thẳng ấy có toạ độ là nghiệm chung của hai phương trình của [I]. Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình [I] được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của [d] và [d']. Hình 4 Ví dụ 1. Xét hệ phương trình y? X -2y = o’ Gọi hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ đã cho lần lượt là [dj] và [d2]. Vẽ [d!] và [d2] trong cùng một hệ trục toạ độ [h. 4], ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất M. Ta xác định được toạ độ của điểm M là [2 ; 1]. [Thử lại, ta thấy [2 ; 1] là một nghiệm của hệ]. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất [x ; y] = [2 ; 1]. Ví dụ 2. Xét hệ phương trình Í3x - 2y = - 6 3x - 2y - 3 Do 3x - 2y = -6 y = X + 3 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biếu diễn bởi đường thắng [d1]:y=^-x + 3. Tương tự, tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng [d2]:y=|x-|. Hai đường thẳng [dị] và [d2] có tung độ gốc khác nhau và có cùng hệ số góc 3 bằng nên song song với nhau [h. 5]. Chúng không có điểm chung. Điều đó chứng tỏ hệ đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Xét hệ phương trình 2x - y = 3 *-2x + y =-3 Ta thấy tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x - 3. Vậy, mỗi nghiệm của một trong hai phương trình của hệ cũng là một nghiệm của phương trình kia. Idệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ? Một cách tổng quát, ta có : Đối với hệ phương trình [I], ta có : Nếu [d] cắt [d1] thì hệ [I] có một nghiệm duy nhất. Nếu [d] song song với [d'] thì hệ [I] vô nghiệm. Nếu [d] trùng với [d1] thì hệ [I] có vô số nghiệm. Chủ ý. Từ kết quả trên ta thấy, có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn [I] bằng cách xét vị trí tương đối của các đường thẳng ax + by = c và a'x + b'y = c'. 3. Hệ phương trình tương đương Tương tự như đối với phương trình, ta có : ĐỊNH NGHĨA Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Ta cũng dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình, chẳng hạn ta viết 2x -y = 1 X - y = 0 2x - y = 1 5 - . X -2y = -1 Bài tập Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao : a] y = 3 - 2x y = 3x - 1 b] 1 a y = -|x + 3; 1 , . : y = 2 x +1 3x - y = 3 1 2y = -3x 3y = 2x Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học : c] a] 2x - y = 1 X -2y = -1 d] b] x-5y=l 2x + y = 4 -X + y = 1 Đố Bạn Nga nhận xét : Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định : Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? [có thể cho một ví dụ hoặc minh hoạ bằng đồ thị]. Luyện tập Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5. Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên. Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục toạ độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng. X + 3y = 2 2y = 4 a] Cho các hệ phương trình sau X = 2 ” 2x-y = 3 ’ Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên [giải thích rõ lí do]. Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương, trình sau, giải thích vì sao : a] X + y = 2 3x + 3y = 2 b] 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 10. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao : 'l 2 a] 4x - 4y = 2 -2x + 2y = -1 b] 3y = 2 11. Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn [nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt] thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ?

20:38:3211/10/2021

Ở lớp 8 các em đã học phương trình bậc nhất một ẩn. Trong thực tế, còn có các tình huống dẫn đến phương trình có nhiều hơn một ẩn như phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? khi nào phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm, vô nghiệm và có bao nhiêu nghiệm? là những câu hỏi sẽ được chúng ta giải đáp trong bài viết này.

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

• Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c   [1]

- Trong đó a, b và c là các số đã biết [a ≠ 0 hoặc b ≠ 0].

* Ví dụ 1: Các phương trình sau là phương trình bậc nhất hai ẩn:

3x - 2y = 1;    2x + 5y = 0;

0x + 3y = 6; 3x + 0y = 9;

* Ví dụ 2: Cặp số [2; 3] là nghiệm của phương trình 2x - y = 1 vì 2.2 - 3 = 1. [Với cách này, ta luôn hiểu rằng x = 2 và y = 3.

> Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình [1] được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm [x0; y0] dược biểu diễn bởi điểm có tọa độ [x0; y0].

* Câu hỏi 1 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: a] Kiểm tra xem các cặp số [1; 1] và [0,5; 0] có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không?

b] Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1.

> Lời giải: 

a] Cặp số [1; 1] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1

 vì 2.1 – 1 = 1

Cặp số [0,5; 0] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1

 vì 2.0,5 – 0 = 1

b] Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3

Vậy cặp số [2; 3] là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1.

* Câu hỏi 2 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1.

> Lời giải:

- Chọn x = x0 [x0 ∈ R] ta có: 2x0 - y = 1 ⇔ y = 2x0 -1

Nên mọi cặp số dạng [x0; 2x0 -1] với x0 ∈ R tùy ý đều là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.

⇒ Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm.

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

• Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số [x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.

• Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, ký hiệu là [d].

- Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

  hoặc 

Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.

- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

 khi đó [d]//Ox

- Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì công thức nghiệm là:

khi đó [d]//Oy

* Câu hỏi 3 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình [2]: y = 2x - 1

> Lời giải:

- Ta có bảng giá trị sau:

Vậy 6 nghiệm của phương trình là: [-1; -3], [0;-1], [0,5; 0], [1;1], [2; 3], [2,5; 4].

Đến đây các em hoàn toàn có thể trả lời các câu hỏi như:

Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c, [với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0].

Phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm khi nào? có bao nhiêu nghiệm? Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Như vậy, phương trình bậc nhất hai ẩn KHÔNG thể vô nghiệm, nhưng HỆ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì có thể vô nghiệm là bài viết chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết tới.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.