Tìm tập giá trị T của hàm số f(x x 2 2 x với x thuộc 3 5)

22.03.2022

WElearn Wind

Nguyên hàm là một trong những phần quan trọng và chắc chắn sẽ xuất hiện ở đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Vì vậy, nếu không nắm chắc các kiến thức cũng như kỹ năng làm bài, bạn sẽ rất khó để có thể làm bài tốt. Hiểu được những khó khăn đó, Trung tâm WElearn gia sư đã tổng hợp lại tất cả các công thức nguyên hàm và hệ thống lại các kiến thức cơ bản để có thể giúp các bạn học tốt môn toán hơn. Cùng theo dõi nhé!

>>>>> Xem thêm: Gia sư môn Toán

Cho hàm số f[x] xác định trên K. Hàm số F[x] được gọi là nguyên hàm của hàm số f[x] trên K nếu F'[x] = f[x] với mọi x ∈ K.

Từ đó cho ra các định lý về thuộc về bảng nguyên hàm như sau:

Nếu F[x] là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G[x] = F[x] + C cũng là một nguyên hàm của hàm f[x] trên K.

Và ngược lại, nếu F[x] là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên K thì khi đó mọi nguyên hàm của f[x] trên K đều sẽ có dạng F[x] + C với C là một hằng số bất kỳ.

• Định lý 1: Nếu F[x] là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G[x] = F[x] + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên K.
• Định lý 2: Nếu F[x] là một nguyên hàm của hàm số f[x] trên K thì mọi nguyên hàm của f[x] trên K đều có dạng F[x] + C với C là một hằng số tùy ý.
• Định lí 3: Mọi hàm số f[x] liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Nguyên hàm có 3 tính chất quan trọng sau:

• ∫f[x]dx = F[x] + C, C ∈ R.
• ∫kf[x]dx =k∫f[x]dx [với k là hằng số khác 0]
• ∫[f[x] ± g[x]] = ∫f[x]dx ± ∫g[x]dx

Đối với dạng này, các bạn chỉ cần dò bảng nguyên hàm là ra kết quả

Đổi biến tổng quát

• Bước 1: Chọn t = φ[x]. Trong đó φ[x] là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ'[x]dx
• Bước 3: Biểu thị f[x]dx = g[φ[x]]φ'[x]dx = g[t]dt.
• Bước 4: Khi đó I=∫f[x]dx =∫g[t]dt =G[t]+C

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số

Giải:

• Bước 1: Đặt
• Bước 2: Vi phân 2 vế, ta được dt = – 3sinx.dx
• Bước 3: Khi đó, phương trình trở thành ∫f[x]dx=–1/3∫1t.dt
• Bước 4: Vậy, I=–1/3ln|t|+C =–1/3ln|1+3cosx|+C

Đổi biến dạng 1

Đổi biến dạng 2

Nguyên tắc khi đặt u và dv: Dễ dàng tìm được v và phải tính được ∫v.du

Công thức: ∫udv = uv.∫vdu

Phương pháp:

• Bước 1: Chọn u, v sao cho f[x]dx = udv [dv = v'[x]dx]
• Bước 2: Tính v = ∫dv và du = u’dx
• Bước 3: Thay vào công thức trên để tính ∫vdu

Các dạng thường gặp

Lưu ý: Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” [hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ].

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f[x] = x.e2x

Hướng dẫn giải

• Bước 1: Đặt
• Bước 2: Ta thấy F[x]=∫f[x]dx =x2/2.ln[2x]–∫1x.x2/2dx =x2/2.ln[2x]–x2/4+C =x2/2.[ln[2x]–12]+C

Cú pháp trên máy tính Casio như sau:

Trong đó:

•  f là hàm số cần xác định nguyên hàm
• Fi[x] là các phương án đã cho.
• Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra [A là một số bất kỳ và có giá trị nhỏ nhất thỏa phương trình]

→ Khi đáp án bằng 0 thì Fi[x] là nguyên hàm của f[x] và ngược lại.

Tuy nhiên, bạn nên thử từ 2 đến 3 giá trị A để chắc chắn không rơi vào trường hợp đặc biệt.

Ví dụ:

Cú pháp trên máy tính Casio 580VNX hay 570VN Plus:

Trong đó: x0 và C là những hằng số cho trước.

→ Khi đó nếu kết quả ra là 0 thì Fi[x] là một nguyên hàm của hàm số f[x]

Ví dụ:

Cú pháp thực hiện trên máy tính Casio 580 và 570VN Plus như sau: 

Ví dụ

• Cho [H] là hình phẳng được giới hạn bởi y = f[x]; y = 0; x = a; x = b.

• Cho [H] là hình phẳng được giới hạn bởi y = f[x]; y = g[x].

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Như vậy, với những kiến thức mà WElearn chia sẻ, hy vọng có thể giúp Làm Chủ Môn Toán Với Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất và cải thiện kiến thức môn toán của mình. Chúc bạn thành công nhé!

Xem thêm các bài viết liên quan