VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes: Phương pháp giản: a] Bài toán xác suất điều kiện: Tìm hai trong ba xác suất P[AB], P[B], P[AB]. Từ đó tìm được xác suất còn lại. b] Bài toán xác suất toàn phần: Xác định hệ biến cố đầy đủ Bộ, tính các biến cố P[A|BG], áp dụng công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 1. Nam thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0, 9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất để thành công thí nghiệm thứ hai là 0, 4. Tìm xác suất để: a] Cả hai thí nghiệm thành công. b] Cả hai thí nghiệm đều không thành công. c] Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công. Gọi A, B lần lượt là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công” và “Thí nghiệm thứ hai thành công”. a] AB là biến cố “Cả hai thí nghiệm thành công”. Theo giả thiết ta có P[A] = 0, 7, P[BA] = 0, 9. P[AB] = P[A]P[BA] = 0,7 x 0,9 = 0, 63. b] A B là biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”. P[AB] = P[A] . P[BA] = 0, 3 x 0, 6 = 0, 18. c] AB là biến cố “Thí nghiệm thứ nhất thành công nhưng thí nghiệm thứ hai không thành công”. P[AB] = P[A]P . [BA] = 0,7 x 0,1 = 0, 07. Ví dụ 2. Một công ti một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra. a] Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng. b] Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng. a] Gọi A là biến cố sản phầm thứ k không đạt chất lượng [k = 1, 2]. Do sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849 sản phẩm. b] Do A và A, là hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Gieo liên tiếp một con súc sắc. a] Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt “bốn”. b] Tính xác suất để trong k – 1 lần gieo trước đó, không có lần nào ra mặt “ba”. c] Tính xác suất để mặt “bốn” xuất hiện trước mặt “ba”. a] Gọi A, là biến có lần thứ gieo được mặt “bốn”. Khi đó A = A A A -1A, là biến cố lần thứ k là lần đầu tiên gieo được mặt “bốn”. b] Gọi B là biến cố k – 1 lần đầu không có lần nào ra mặt “ba”. c] Gọi C là biến cố mặt “bốn” xuất hiện trước mặt “ba”, C1, C2, C lần lượt là các biến cố “lần đầu ra mặt bốn”, “lần đầu ra mặt ba”, “lần đầu không ra cả mặt ba và bốn”.
Bài 2. Một gia đình có n người con. Tính xác suất để cả n người con là con trai biết rằng có ít nhất một người con là con trai. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là biến cố “cả 3 người con đều là con trai” và “có ít nhất một người con là con trai”. Bài 3. Từ một hộp có 100 quả cầu trắng và 50 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được là quả cầu trắng.
Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Định lý Bayes là một kết quả của lý thuyết xác suất. Nó đề cập đến phân bố xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên A, với giả thiết:
Định lý Bayes cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra. Xác suất này được ký hiệu là P[A|B], và đọc là "xác suất của A nếu có B". Đại lượng này được gọi là xác suất có điều kiện hay xác suất hậu nghiệm vì nó được rút ra từ giá trị được cho của B hoặc phụ thuộc vào giá trị đó.
Theo định lý Bayes, xác suất xảy ra A khi biết B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố:
Khi biết ba đại lượng này, xác suất của A khi biết B cho bởi công thức:
Từ đó dẫn tới
Định lý Bayes thường cũng thường được viết dưới dạng
P [ B ] = P [ A , B ] + P [ A C , B ] = P [ B | A ] P [ A ] + P [ B | A C ] P [ A C ] {\displaystyle P[B]=P[A,B]+P[A^{C},B]=P[B|A]P[A]+P[B|A^{C}]P[A^{C}]\,}hay
P [ A | B ] = P [ B | A ] P [ A ] P [ B | A ] P [ A ] + P [ B | A C ] P [ A C ] , {\displaystyle P[A|B]={\frac {P[B|A]P[A]}{P[B|A]P[A]+P[B|A^{C}]P[A^{C}]}}\,,}trong đó AC là biến cố bù của biến cố A [thường được gọi là "không A"]. Tổng quát hơn, với {Ai} tạo thành một phân hoạch của không gian các biến cố,
P [ A i | B ] = P [ B | A i ] P [ A i ] ∑ j P [ B | A j ] P [ A j ] , {\displaystyle P[A_{i}|B]={\frac {P[B|A_{i}]P[A_{i}]}{\sum _{j}P[B|A_{j}]P[A_{j}]}}\,,}với mọi Ai trong phân hoạch.
Công thức này còn được biết dưới tên công thức xác suất đầy đủ.
Định lý Bayes với hàm mật độ xác suất
Cũng có một dạng của định lý Bayes cho các phân bố liên tục. Đối với chúng, thay cho các xác suất trong định lý Bayes ta dùng hàm mật độ xác suất. Như vậy ta có các công thức tương tự định nghĩa xác suất điều kiện:
f [ x | y ] = f [ y | x ] f [ x ] f [ y ] {\displaystyle f[x|y]={\frac {f[y|x]\,f[x]}{f[y]}}}và công thức tương tự công thức xác suất đầy đủ:
Ý nghĩa của các thành phần trong các công thức trên là f[x, y] là mật độ phân phối của phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y, f[x|y] là mật độ phân phối xác suất hậu nghiệm của X với điều kiện Y=y, f[y|x] = L[x|y] là [một hàm của x] hàm khả năng của X với điều kiện Y=y, và f[x] và f[y] là các mật độ phân phối của X và Y tách biệt nhau, với f[x] là mật độ phân phối tiền nghiệm của X.
Điều kiện mặc định trong các công thức là hàm f khả vi và các tích phân công thức tồn tại.
Ứng dụng của định lý Bayes thường dựa trên một giả thiết có tính triết học Bayesian probability ngầm định rằng độ bất định và kỳ vọng có thể tính toán được giống như là xác suất. Định lý Bayes được đặt theo tên của Reverend Thomas Bayes [1702—1761], người nghiên cứu cách tính một phân bố với tham số là một phân bố nhị phân. Người bạn của ông, Richard Price, chỉnh sửa và giới thiệu công trình năm 1763, sau khi Bayes mất, với tựa đề An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances. Pierre-Simon Laplace mở rộng kết quả trong bài luận năm 1774.
- Bài toán Monty Hall
- Occam's Razor
- Ngụy biện của người khởi tố
- Nghịch lý Hempel
- Revising opinions in statistics
- Thomas Bayes [1763], "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53.
- Thomas Bayes [1763/1958] "Studies in the History of Probability and Statistics: IX. Thomas Bayes's Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances", Biometrika 45:296-315 [Bayes's essay in modernized notation]
- Thomas Bayes "An essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" Lưu trữ 2011-04-10 tại Wayback Machine [Bayes's essay in the original notation]
- G.A. Barnard. [1958] "Studies in the History of Probability and Statistics: IX. Thomas Bayes's Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances", Biometrika 45:293-295 [biographical remarks]
- Daniel Covarrubias "An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances" Lưu trữ 2005-05-14 tại Wayback Machine [an outline and exposition of Bayes's essay]
- Stephen M. Stigler [1982] "Thomas Bayes' Bayesian Inference," Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 145:250-258 [Stigler argues for a revised interpretation of the essay -- recommended]
- Isaac Todhunter [1865] A History of the Mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace, Macmillan. Reprinted 1949, 1956 by Chelsea and 2001 by Thoemmes.
- Pierre-Simon Laplace [1774], "Mémoire sur la Probabilité des Causes par les Événements," Savants Étranges 6:621-656, also Oeuvres 8:27-65.
- Pierre-Simon Laplace [1774/1986], "Memoir on the Probability of the Causes of Events", Statistical Science, 1[3]:364–378.
- Stephen M. Stigler [1986], "Laplace's 1774 memoir on inverse probability," Statistical Science, 1[3]:359–378.
- Stephen M. Stigler [1983], "Who Discovered Bayes's Theorem?" The American Statistician, 37[4]:290-296.
- Jeff Miller. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [B] [very informative -- recommended]
- Athanasios Papoulis [1984], Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, second edition. New York: McGraw-Hill.
- James Joyce. "Bayes' Theorem", in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_Bayes&oldid=66132791”