Bài tập chương iii quan hệ toán rời rạc năm 2024

Nội dung Text: Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3: Quan hệ (ĐH Công nghệ Thông tin)

1. Chương 3. Quan hệ 3.1. Quan hệ hai ngôi trên một tập hợp và các tính chất. Biểu diễn quan hệ hai ngôi. 3.2. Quan hệ tương đương. Lớp tương đương. Sự phân hoạch thành các lớp tương đương. 3.3. Quan hệ thứ tự. Thứ tự toàn phần và bán phần. Biểu đồ Hasse. Phần tử min và max. Các phần tử tối tiểu và tối đại. 1
2. Quan hệ hai ngôi 1. Định nghĩa: Cho hai tập A, B. Ta gọi tập R là một quan hệ hai ngôi từ A đến B nếu R  A x B. Nếu (a, b)R thì ta nói a có quan hệ R với b và ký hiệu a R b; ngược lại nếu (a, b) R thì ta kí hiệu a R b. Khi A = B, ta gọi R là một quan hệ hai ngôi trên A. Ví dụ: Ā A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } 2
3. Quan hệ hai ngôi 1. Định nghĩa. Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4}, R là một quan hệ (hai ngôi) trên A và R = {(a, b) A | a là ước của b}. Khi đó R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 3
4. Quan hệ hai ngôi 2. Các tính chất của quan hệ. Định nghĩa: Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên tập A. (a) Ta nói quan hệ R có tính phản xạ nếu và chỉ nếu a R a , a A. Ví dụ: Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ vì (3, 3)R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ vì (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)R2 4
5. Quan hệ hai ngôi 2. Các tính chất của quan hệ Ví dụ: - Quan hệ ≤ trên Z phản xạ vì a ≤ a, a  Z. - Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1 không lớn hơn 1. - Quan hệ “ | ” (“ước số”) trên Z+ là phản xạ vì mọi số nguyên dương a là ước của chính nó. 5
6. Quan hệ hai ngôi 2. Các tính chất của quan hệ. Định nghĩa: Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên tập A. (b) Ta nói quan hệ R có tính đối xứng nếu và chỉ nếu a R b  b R a , a, b  A. (c) Ta nói quan hệ R có tính phản xứng nếu và chỉ nếu (a R b  b R a)  a = b ,  a, b  A. Ví dụ: - Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} trên tập A = {1, 2, 3, 4} là đối xứng. - Quan hệ ≤ trên Z không đối xứng, tuy nhiên nó phản xứng vì (a ≤ b)  (b ≤ a)  (a = b). - Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z+ không đối xứng, tuy nhiên nó có tính phản xứng vì (a | b)  (b | a)  (a = b). 6
7. Quan hệ hai ngôi 2. Các tính chất của quan hệ Định nghĩa: Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên tập A. (d) Ta nói quan hệ R có tính bắc cầu (truyền) nếu và chỉ nếu (a R b  b R c)  a R c , a,b,c A. Ví dụ: - Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} trên tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu. - Quan hệ ≤ và “|”trên Z có tính bắc cầu vì (a ≤ b)  (b ≤ c)  (a ≤ c) (a | b)  (b | c)  (a | c) 7
8. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn quan hệ Định nghĩa. Cho R là quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w}, R = {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)}. Khi đó R có thể biễu diễn như sau Đây là ma trận cấp 4×3 biễu diễn cho quan hệ R 8
9. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn Quan hệ Định nghĩa. Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, …, am} đến B = {b1, b2, …, bn}. Ma trận biểu diễn của R là ma trận MR = [mij] mxn xác định bởi: Ví dụ: Cho R là quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2}: a R b  a > b. Khi đó ma trận biểu diễn của R là: 9
10. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn quan hệ Ví dụ: Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến B = {b1, b2, b3, b4, b5} được biễu diễn bởi ma trận Khi đó R gồm các cặp:{(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)}. 10
11. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn quan hệ Cho R là quan hệ trên tập A, khi đó MR là ma trận vuông. +) R là phản xạ nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của MR đều bằng1: mii = 1, i. 11
12. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn quan hệ +) R là đối xứng nếu MR là đối xứng mij = mji ,  i, j. 12
13. Quan hệ hai ngôi 3. Biểu diễn quan hệ +) R là phản xứng nếu MR thỏa: mij = 0 hoặc mji = 0 nếu i ≠ j 13
14. Quan hệ tương đương 1. Định nghĩa. Ví dụ: Cho S = {sinh viên của lớp}, gọi R là một quan hệ trên S với R = {(a,b): a có cùng họ với b}. 14
15. Quan hệ tương đương 1. Định nghĩa: Quan hệ R trên tập A được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Ví dụ: Quan hệ R trên tập các chuỗi ký tự xác định bởi aRb nếu a và b có cùng độ dài. Khi đó R là quan hệ tương đương. Ví dụ: Cho R là quan hệ trên tập R sao cho aRb  a – bZ Khi đó R là quan hệ tương đương. 15
16. Quan hệ tương đương 1. Định nghĩa. Ví dụ: Cho m là số nguyên dương và R là quan hệ trên Z : aRb  (a – b) chia hết m Khi đó R là quan hệ tương đương. - Rõ ràng quan hệ này có tính phản xạ và đối xứng. - Cho a, b, c sao cho a – b và b – c chia hết cho m, khi đó a – c = a – b + b – c cũng chia hết cho m. Suy ra R có tính chất bắc cầu. - Quan hệ này được gọi là đồng dư modulo m và chúng ta viết a  b (mod m) thay vì aRb. Ví dụ: Cho | là quan hệ trên Z được xác định như sau: a | b  kZ: b = ka Quan hệ | có là quan hệ tương đương? 16
17. Quan hệ tương đương 2. Lớp tương đương Định nghĩa. Cho R là quan hệ tương đương trên A và a  A . Lớp tương đương chứa a theo quan hệ R được ký hiệu bởi [a]R hoặc [a] là tập hợp tất cả những phần tử có quan hệ R với a. [a]R = {b  A| b R a} •Mỗi phần tử x[a]R được gọi là một phần tử đại diện của lớp tương đương [a]R . •Tập thương của A theo quan hệ R, ký hiệu là A/R, được định nghĩa là tập tất cả các lớp tương đương của các phần tử thuộc A, nghĩa là A/R = { [a]R |aA} 17
18. Quan hệ tương đương 2. Lớp tương đương Ví dụ: Tìm các lớp tương đương modulo 8 chứa 0 và 1? Giải: Lớp tương đương modulo 8 chứa 0 gồm tất cả các số nguyên a chia hết cho 8. Do đó [0]8 ={ …, – 16, – 8, 0, 8, 16, … } Tương tự [1]8 = {a | a chia 8 dư 1} = { …, – 15, – 7, 1, 9, 17, … } 18
19. Quan hệ tương đương 3. Sự phân hoạch thành các lớp tương đương Nhận xét: Trong ví dụ cuối, các lớp tương đương [0]8 và [1]8 là rời nhau. Mệnh đề. Cho R là quan hệ tương đương trên tập A. Với mọi a,bA các điều kiện sau đây tương đương với nhau (i)a R b (ii)[a]R = [b]R (iii) [a]R  [b]R ≠  Chú ý: Từ mệnh đề trên ta thấy rằng các lớp tương đương của các phần tử của tập A hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau. Hơn nữa, hợp của tất cả các lớp tương đương này trùng với A, cho nên tập A là hợp rời rạc của các lớp tương đương.Ta cũng nói rằng tập A được phân hoạch thành các lớp tương đương theo quan hệ R. 19
20. Quan hệ tương đương 3. Sự phân hoạch thành các lớp tương đương Chú ý: Cho {A1, A2, … } là phân hoạch A thành các tập con không rỗng, rời nhau. Khi đó có duy nhất quan hệ tương đương trên A sao cho mỗi Ai là một lớp tương đương. Thật vậy với mỗi a, b  A, ta đặt a R b nếu có tập con Ai sao cho a, b  Ai . Dễ dàng chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên A và [a]R = Ai nếu a  Ai . 20