Bài tập hệ phương trình trong toán c2 năm 2024

Nắm được khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ phương trình thuần nhất. Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm

BÀI 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Viết hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng

1. [ −2 1 0 −3

1 −7 3 4

−5 1 −2 2 ]

2. [ 0 −2 4 −1

2 −1 −5 3

3 4 −1 2 ]

2. Viết ma trận mở rộng của các hệ phương trình sau:

1. { −5𝑦+3𝑧\= 2

4𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 \=−1

−𝑥 + 2𝑦 +5𝑧\= 3

2. { 𝑥 +7𝑦−3𝑧\= 0

2𝑥 −5𝑦+3𝑧\=−2

−5𝑥+ 𝑦 +3𝑧\= 5

3. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương

trình, hãy giải các hệ phương trình tuyến tính sau

1. { 3𝑥− 𝑦 \=3

5𝑥−3𝑦\=1

2. { 𝑥 +3𝑦− 𝑧 \=1

2𝑥 − 𝑦 +2𝑧\=7

−3𝑥+ 𝑦 + 𝑧 \=1

4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng,

mệnh đề nào sai? Nếu sai hãy cho một phản ví dụ.

1. Nếu hệ phương trình tuyến tính có 𝑚 phương

trình và 𝑛 ẩn thì ma trận mở rộng có 𝑛 dòng.

2. Nếu hệ phương trình tuyến tính có 𝑚 phương

trình và 𝑛 ẩn thì ma trận mở rộng có 𝑛+1 cột.

3. Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm thì

phải có vô số nghiệm.

4. Với một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm,

sau khi thực hiện một phép biến đổi sơ cấp trên

hệ phương trình thì hệ nhận được có thể vô

nghiệm.

5. Sau một dãy các phép biến đổi sơ cấp trên hệ

phương trình vô nghiệm, hệ nhận được cũng sẽ

vô nghiệm.

6. Hai hệ phương trình tuyến tính tương đương nếu

chúng có cùng số ẩn và số phương trình.

7. Hai hệ phương trình tuyến tính đều vô nghiệm

thì tương đương với nhau.

5. Tìm hàm bậc 2 có dạng 𝑦\=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 biết

rằng đồ thị của nó đi qua 3 điểm (−1,10),(2,7) và

(3,10).

6. Xét bài toán sau đây:

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn”

Hỏi có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu con chó?

Bạn hãy đặt số gà là 𝑥, số cho là 𝑦, sau đó sử dụng

dữ kiện cho trong đề bài để lập hệ phương trình

tuyến tính và tìm số gà, số chó.

7. Số tiền mừng tuổi của bạn Mia năm nay được 2,55

triệu đồng, biết rằng chỉ có 3 loại tiền mừng tuổi ở

các mệnh giá là 10,20 và 50 nghìn VNĐ, trong đó

tổng số tờ tiền mừng tuổi của bạn Mia là 125 tờ và

số tờ tiền 10 nghìn VNĐ nhiều hơn số tờ tiền còn

lại 15 tờ. Hỏi bạn Mia nhận được bao nhiêu tờ tiền

mỗi loại?

8. Xét hệ phương trình tuyến tính, gồm 3 phương trình

3 ẩn như sau

{ 𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1𝑧\=𝑑1

𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2𝑧\=𝑑2

𝑎3𝑥+𝑏3𝑦+𝑐3𝑧\=𝑑3

Xét trong không gian 3 chiều, mỗi phương trình

trong hệ có đồ thị là một mặt phẳng trong không

gian 0𝑥𝑦𝑧, nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

là các điểm chung (𝑥0,𝑦0,𝑧0) của cả 3 mặt phẳng.

Bạn hãy liệt kê các khả năng về số nghiệm của hệ

phương trình tương ứng với vị trí tương đối của 3

mặt phẳng có phương trình là 3 phương trình của

hệ trên.