Bài tập sức bền vật liệu chịu nén đúng tâm năm 2024
|
Định nghĩa:Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi m¿t cÁt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc Nz. Nz þ 0 khi hướng ra ngoài mặt cắt (đoạn đang xét chịu kéo) Nz ü 0 khi hướng vào trong mặt cắt (đoạn đang xét chịu nén) Đây là trưßng hợp chịu lực đơn giản nhất gặp trưßng hợp này khi thanh chịu 2 lực bằng nhau và trái chiều á hai đầu dọc trục thanh. Thanh chịu kéo đúng tâm ( H ) hay chịu nén đúng tâm (H ). Thực tế: có thể gặp các cấu kiện chịu kéo hay nén đúng tâm như: dây cáp trong cần cẩu ( H.3 ), dây xích, ống khói ( H.3 ), các thanh trong dàn ( H.3 ). II. ĂNG SUÀT TRÊN M¾T CÀT NGANG Xét thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm ( H ) các mặt cắt ngang CC và DD trước khi thanh chịu lực cách nhau đoạn dz và vuông góc trục thanh. Các thớ dọc trong đoạn CD (như là GH) dều dãn hay co bằng nhau ( H ). Khi thanh chịu kéo (nén), nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt ngang khác là Nz = P ( H ) thanh sẽ dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với ####### mặt cắt CC một đoạn bé ô dz ( H ). P Q a) b) c)
x Z Nz
y P P P P HÏnh a HÏnh b Ta thấy biến dạng các thớ dọc như GH đều bằng HH9và không đổi, mặt cắt ngang trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho ####### biết các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp z không đổi ( H ) Ta biêt : ýA NdA zz , và : dz dz z ô õ ý là hằng số. ####### ĐL ý E õ zz cũng là hằng số. ####### Ta tính được ứng suất: ý NA zz A Nz z ý (3) với A: diện tích mặt cắt ngang của thanh. Lực dọc > 0 ứng suất > 0, Lực dọc < 0 ứng suất < 0 Nh¿n xét : Nếu thanh có tiết diên giảm yếu, như bị khoét lỗ. Thực nghiệm và lý thuyết đều cho thấy tại tiết diện giảm yếu, ứng suất không phân bố đều mà có max á mép lỗ. Gọi là hiện tượng tập trung ứng suất. III. BIÀN D¾NG CĀA THANH KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM****. 1 - BiÁn d¿ng dọc trÿc : ####### Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là : ô dz ( H.3 ) Như vậy biến dạng dài tương đối của đoạn dz là: dz dz z ô õ ý (a) Theo định luật Hooke ta có: E õ z ý z (ý nghĩa vật lý) (b) trong đó: E :là hằng số tỷ lệ, được gọi là mô đun đàn hồi khi kéo (nén), phụ thuộc vào vật liệu và có thứ nguyên maxA Nz y z z d) 0 C C D D D’ D’ G H H’ dz ôdz b) x a ) c) C C D D P P P Nz Thí dÿ1. Vẽ biểu đồ dọc Nz tính ứng suất và biến dạng dài toàn phần của thanh trên H.3 cho biết E = 2 4 kN/cm 2 ; A 1 =5 cm 2 ; A 2 =10 cm 2 .(Lực tác dụng tại B,D,H) Giải. Dùng phương pháp mặt cắt vẽ được biểu đồ Nz ( H.3 ) Từ đó ta tìm được ứng suất trên mặt cắt ngang mỗi đoạn là: 10 kN/cm 2 5 50 1 ýýý A NzDH DH , 6 kN/cm 2 5 30 1 ýý ý A NzCD CD 3 kN/cm 2 10 30 2 ýý ý A NzBC BC , 2 2 kN/cm 1 10 10 ýýý A NzKB KB Xác định biến dạng dọc toàn phần chính là biến dạng dài tuyệt đối của thanh, sử dụng công thức ( 3’ ) áp dụng cho bốn đoạn của thanh. ####### L = 0075,0 cm 10102 4010 10102 3030 5102 5030 5102 5050 4444 ôô ý ô ôô ô ôô ô ôô ô Biến dạng dọc mang dấu (+) nghĩa là thanh bị dài ra. Ta có thể tính biến dạng bằng phương pháp công tác dụng như sau: ý PLPLPLPPPL 321321 )()()(),,( cm x L 0075,0) 1010. 4040 () 1010. 80x70- 510. 80x () 1010. 50x 510. 10050 ( 44444 ý ô ô ô ô ô ô ý VI. ĐẶC TR£NG C¡ HÞC CĀA VÀT LIÞU ( được học thí nghiệm sau ) 1. Khái nißm Vấn đề của chúng ta là cần phải so sánh hay muốn biết độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu lực với ứng suất, biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết. Ta cần thí nghiệm kéo, nén đề tìm hiểu tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc phá hỏng của các loại vật liệu khác nhau. H.
40 cm 30 cm 50 cm 50 cm K A 10kN 30kN P 3 =40 kN P 2 =80kN A 50kN P 1 =50kN Nz H D B C 2- 3 cm 2, 5- 3 cm 0, 0175cm 0, 0075cm BiÁn d¿ng Ngưßi ta phân vật liệu thành hai loại cơ bản: Vật liệu dẻo,và vật liệu dòn. Như vậy có bốn thí nghiệm cơ bản sau: 2. Thí nghißm kéo vÁt lißu dẻo (thép) a- Mẫu thí nghißm Theo tiêu chuẩn TCVN 197 -2002 ( H.3 ) Chiều dài Lo ,đưßng kính do , diện tích A o b- Thí nghißm Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận ####### được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài L của mẫu như H.3. Sau khi mẫu bị đứt ta chắp mẫu lại, có chiều dài L 1 ,đưßng kính d 1 , diện tích A 1 mẫu sẽ có hình dáng như H.. c- Phân tích kÁt qu¿ Quá trình chịu lực của vật liệu có thể chia làm ba giai đoạn: ####### OA: đàn hồi, P và L bậc nhất, Lực lớn nhất là lực tỉ lệ Ptl. o tl tl A P ý AD: giai đoạn chảy, lực kéo không tăng nhưng biến dạng tăng liên tục. Lực kéo tương ứng là lực chảy Pch và ta có giới hạn chảy. o ch ch A P ý DBC: giai đoạn củng cố (tái bền), tương quan giữa lực P và ####### biến dạng L là đưßng cong. Lực lớn nhất là lực bền PB và ta có giới hạn bền. o b b A P ý. Gọi chiều dài mẫu sau khi đứt (H.3) là L 1 và diện tích mặt cắt ngang nơi đứt là A 1 thì ta có các định nghĩa đặc trưng cho tính dẻo của vật liệu như sau: Biến dạng dài tương đối (tính bằng phần trăm): ####### ô = 10 % Lo LL ####### Độ thắt tỷ đối (tính bằng phần trăm): = 1100 o o A AA % (3) ####### d- Biểu đß - õ (biểu đồ qui ước) ####### Từ biểu đồ P- L ta dễ dàng suy ra biểu đồ tương quan giữa ứng suất ý AP oz và biến ####### dạng dài tương đối õ ý LL oz. Biểu đồ này có hình dạng giống như biểu ####### đồ P - L ( H.3 ). Trên biểu đồ chỉ rõ ####### ,, bchtl và cả mô đun đàn hồi: L 0 d 0 H. P B P ch P tl P L O A D B C H. L 1 d 1 , A 1 H. P tl P Pb O L Đưßng cong thực Đưßng qui ước H. b ch tl O õ D B C A H. Pch Ptl P L O a) H. d h b)
Công này biến thành TNBDĐH U : U = W = EA LN EA LPLP z 222 2 2 ýý Gọi u là TNBDĐH riêng (thế năng tích lũy trong một đơn vị thể tích), có: 2 zzz EAlEA PPl V u U ýýýý õ Xét đoạn thanh có chiều dài dz có nội lực Nz ( H.3 ): EA dzN dU z 2 2 ý Suy ra thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dài L , có nội lực Nz là: L ýý L zEA dzN dUU 2 2 Nếu trong đoạn thanh EA Nz không đổi ta có: U = EA zLN 2 2 ####### Với nhiều đoạn dài Li ta sẽ có: U = õ Ui = õ ii izi AE LN 2 2 Thế năng biến dạng đàn hồi thưßng dùng để tính chuyển vị của hệ thanh. Thí dÿ 2. Xác định chuyển vị đứng của điểm đặt lực. Cho E = 20000kN/cm 2 ; l = 200cm; ####### P =300 (KN); =30o ; A =10 cm 2 Giải - Xác định nội lực Tách mắt B ( H.3 ). Dùng hai phương trình hình chiếu: ####### õ X = 0: NBC = NBD = N ####### õ Y = 0: 2Ncos = P suy ra: cos2 P N ý - Chuyển vị đứng của điểm B a) Ph¤¢ng pháp dùng cách tính theo biến d¿ng hình hßc. ####### Gọi LBC, LBD lần lược là biến dạng của thanh BC,BD tương ứng các điểm biến dạng nầy biểu diễn bái đoạn BI,BK. Từ I và K vẽ hai đưßng vuông góc với BC và BD, chúng cắt nhau tại B/. BB/ là độ biến dạng của điểm B. Hệ cho đối xứng nên chuyển vị của điểm B là B/ nằm trên đưßng thẳng đứng kẻ từ B. Xét tam giác BB9I ta có: ####### BB/cos = BI hay: BB9 = cos BI = cos LBC BB9 = ø ù BC cos BCBC EA LN = 2 EA cos 2 PL Với P = 300kN, E = 20000kN/cm 2 , A =10cm 2 , = 30 0 , L/ = 2L = 400cm, ta được: BB9 = 0,4 cm b) Ph¤¢ng pháp dùng thế năng biến d¿ng đàn hồi L BC K B C D P I H. 3. A A L L P B NBC NBD b) B/ L BD Ta có: W = U (*) Công ngoại lực:. / 2 ý 1 BBPW Vì hai thanh qui về nút B nên năng biến dạng đàn hồi của hệ là: U = BD BDBD EA LN )( 2 + BC BCBC EA LN )( 2 = 2 EA LN 2 2 Thế vào (*) ta được:. / 2 1 BBP = 2 EA LN 2 2 suy ra: PEA BB /ý 22 LN = cm EA PL 4, cos2 2 ý VI. þNG SUẤT CHO PHÉP, HÞ SÞ AN TOÀN, BA BÀI TOÁN C¡ BÀN ####### Nếu gọi o ứng suất nguy hiểm, là trị số ứng suất mà ứng với nó vật liệu được xem ####### là bị phá hoại. Đối với vật liệu dẻo ý cho , đối với vật liệu dòn ý bo. Nhưng khi chế tạo, vật liệu thưßng không đồng chất hoàn toàn, và trong quá trình sử dụng tải trọng tác dụng có thể vượt quá tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết cấu hay chi tiết chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết khi tính toán chưa đúng với ####### sự làm việc của kết cấu. Vì thế ta không tính toán theo o. Chúng ta phải chọn một hệ số an toàn n lớn hơn 1 để xác định ứng suất cho phép. n ý o (3) Và dùng trị số để tính toán. Hệ số an toàn do nhà nước hay hội đồng kỹ thuật của nhà máy qui định. Để chọn hệ số an toàn được chính xác, nhiều khi ngưßi ta phải chọn nhiều hệ số theo riêng từng nguyên nhân dẫn đến sự không an toàn của công trình hay chi tiết máy, có thể kể đến: - Hệ số kể đến độ đồng chất của vật liệu - Hệ số kể đến sự vượt quá tải trọng thiết kế - Hệ số kể đến sự làm việc tạm thßi hay lâu dài Như vậy muốn đảm bảo sự làm việc an toàn về độ bền khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thỏa mãn: + Điều kißn bền là: ý A Nz z (3) Từ điều kiện bền, ta có ba bài toán cơ bản: Kiểm tra bền : Đối với vật liệu dẻo ý A N z max Max z Đối với vật liệu dòn: z maxý K , z miný nChọn kích thước m¿t cÁt ngang : A ó Nz max Định t¿i trọng cho phép : z AN hay: z ý AN*Điều kiện cứng: z õõ hay: LL 2m30 o P = 20kN B C A d=2cm ChˆÙng 3 : Kéo Nén đúng tâm T/2015 Lê đđức Thanh - 10 - mkNqqL A N CH CKCH 2 /31, 3 34 ýý Chọn miný /3,2 mkNq Thí dÿ3. Cho thanh BCK tuyßt đßi cÿng có liên kết và chịu lực như hình vẽ. Thanh CD có tiết diện và độ cứng EA. a)Tìm NCD b)Tìm chuyển vị đứng của điểm K. Giải a)Tìm NCD CD LqLLqLLNBM 2 3 0 332230sin0/ ôôýôý CD qLN 2 ý 21 b)Tìm chuyển vị đứng của điểm K. Vẽ sơ đồ biến dạng như hình bên dưới Xét tam giác CC/H 2 // 00 /0/ 5, 3 8 2 3 4 2 21 60cos60cos 60cos CCKK EA qL EA LqL EA CCCCL LNL CDCDCD CD ýý ô ýý ýý Thí dÿ 4. Cho thanh KCH tuyệt đối cứng có liên kết và chịu lực như hình vẽ. Các thanh có cùng tiết diện và độ cứng EA. Tìm chuyển vị đứng của điểm K. (có thể tìm góc nghiêng của KH) Giải Trước tiên ta cần tính nội lực trong các thanh. Cô lập hệ như H.3. Xét cân bằng với các phương trình: õ X = 0 => N 2 cos45 o + N 3 = 0 õ Y = 0 => – P + N 1 + N 2 sin45 o = 0 õ M / B = 0 => – P2a + N 1 a = 0 Ta được N 1 = 2P, N 2 =–P 2 (nén), N 3 = P a P 1 2 3 a K H B C P N 1 N 2 N K C 3 B
X B 1 L 1 B K K 1 K 1 B 1 a a L 30 o P= 2qL B C NCD q 2L K L B 30 o C D A 2L C / K/ H K C LCA C/ H 600 Tìm chuyển vị đứng của K(bằng páp hình học)như sau: ####### X = 2(BB 1 + L 1 ) , với X = KK 1 + BB 1 Trong đó EA aN L 1 ý 1 , BH EA aN L ýý 2 2 2 và: 0 2 1 45cos L BB ý ú ú û ù ú ú û ù ýý EA aN EA aN LBBX 11 22 22 22 Thế N 1 ,N 2 vào ú û ù ú û ù ý EA Pa EA X Pa 424 224 11 EA ýý BBXKK Pa đvcd Thí dÿ 5 .Tìm [ P ] từ điều kiện bền và điều kiện cứng của thanh chịu lực như hình vẽ. ####### Cho [] =16kN/cm 2 , A =1cm 2 , E = 2 4 kN/cm 2 , ý 05,0 cmL Giải: Biểu đồ nội lực vẽ bên cạnh Điều kiện bền: kNPP A N CD CD CD 5,1 1216 2 ý Biến dạng toàn phần của diểm H A PL A PL A LP A LP EA LP L 5, 5 5,15, 2 5, 2 ý ô ô ô ý Nếu chọn P=12kN ta được 08,0 ý LcmLDo đó phải tính lại P từ điều kiện cứng kNP EA LL PL 5,705, 5, 5 Vậy chọn [ P ]=7,5kN VII. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Định nghĩa: Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học s¿ không đā để gi¿i được tÁt c¿ các ph¿n lực hay nội lực trong hß****. Cách gi¿i. Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện biến dạng của hệ sao cho cộng số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm. Thí dÿ 6. Xét thanh chịu lực như vẽ à hai ngàm có hai phản lực VB và VD. Ta có phương trình cân bằng: VD+VB–P = 0 (a) Phương trình này có hai ẩn, muốn giải được ta phải tìm thêm phương trình từ điều kiện biến dạng của thanh. + b a D b P a V B C B D a) P C B b) V P-VD - VD V P L K B E,1, A E,A L 2L C 3P D L P + P 2P P ChˆÙng 3 : Kéo Nén đúng tâm T/2015 Lê đđức Thanh - 13 - Cho thanh BCD tuyệt đối cứng chịu lực như hình vẽ, L =1m, q =10kN/m, A 1 =A 2 =Acm 2 Tính nội lực trong các thanh treo. Giải : Đây là bài toán siêu tĩnh vì có 4ẩn số N 1 , N 2 , VB, HB mà chỉ có 3 phương trình tỉnh học, nên phải bổ sung thêm một phương trình biến dạng Phương trình cân bằng tĩnh học: 02.. 2 2 420/ 22221 LNLNqLqLqLBM ýý 52 qLNN 2 2 21 ý (a) Điều kiện biến dạng : 2CC/ =DD/ 102 45cos 2 L L ý (b) 2 2 1 22 1 2 EA LN EA LN ýô ý 4 NN 12 (b/) Từ (a) và (b/) cho được: kNqL qL N 74,5574, 216 10 1 ýý ý và 12 ýý 96,224 kNNN Thí dÿ 8 : Cho hệ chịu lực như hình vẽ .Tính nội lực thanh CK, DH. Nhận xét :Thanh CK chiụ kéo , DH chiụ nn Phương trình cn bằng tĩnh học: õ M /B = 0 => NCK +NDH =1,5qL 2 +2qL 2 NCK +NDH =1,5qL 2 +2qL 2 => NCK +2 = 3,5qL (a) Điều kiện biền dạng: 2CC/ = DD/ CK DH NN CKDH EA LN EA LN 2 .. 2 ýý (b) T ừ (a) và(b) NCK = 0,7 qL , NDH = 1,4 qL (Chú ý bài nầy về biến dạng) :
L 1 C C/ H NCK B C D M= 2 ql 2 q L L C NDH / D/ L H B C D M = 2 ql 2 q L L L K EA EA q B L A 1 A 2 P= 2qL L L C qL 2 D C/ D/ H B K N 2 D B HB VB P= 2qL L L B N 1 C q qL 2 phương trình cân bằng để chọn đúng chiều của nội lực .Từ đó biết biến dạng co hay dãn mà vẽ sơ đồ biến dạng. Thí dÿ 9. Thanh KH có tiết diện thay đổi chịu lực như hình vẽ. a) Vẽ Nz và tính biến dạng của điểm H. b) Nếu ngàm đầu H lại.(bài toán siêu tĩnh) Tính lại phản lực tại ngàm H Cho P =100kN, L=50cm, A = 2cm 2 , E = 2 4 kN/cm 2 |
