Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 9

Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS

Phần i: Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chơng trình sách giáo khoa mới
trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chơng IV Đại
số 8 tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải
thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Khi học sinh không nắm
vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng nh các phơng pháp giải phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó
tránh khỏi. Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng
trong chơng trình, đặc biệt là chơng trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này.
Vì sao học sinh thờng không nắm vững các bớc giải phơng trình chứa dấu
gía trị tuyệt đối?
Bài toán giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó
chứa đựng nhiều kiến thức nh tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân,
kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phơng trình, giải bất phơng
trình...Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thờng ngại
khó vì vậy ít lu tâm khi phải tiếp thu kiến thức.
Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm đợc các kiến thức, nắm vững các phơng pháp, các bớc giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trong những năm
qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi xin đề xuất
hệ thống các dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thờng gặp và các
bớc giải từng dạng phơng trình náy. Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ
tiếp thu và giải thành thạo các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong
chơng trình toán 8. Tôi hi vọng đề tài sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng
THCS trong việc học và giải các phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Qua đó
các em có phơng pháp giải nhất định, tránh tình trạng giải cha đúng, lúng túng
trong việc trình bày lời giải. Qua đây giúp các em có hứng thú tích cực hơn trong
học tập, đạt kết quả cao trong học tập và nghiên cứu.
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số dạng cơ bản và cách giải những phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán
và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày.

Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân. Vì vậy tôi

Trang 1


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
iI. Mục đích nhiệm vụ của đề tài
Các dạng toán cơ bản và phơng pháp giải những phơng trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối
Các ví dụ minh họa
Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
IIi. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
1. Đối tợng nghiên cứu:
Học sinh lớp 8 trờng THCS Duy Minh, huyện Duy Tiên, tỉnh Hà Nam
2. Phạm vi nghiên cứu:

Các dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 THCS
Iv/ Phơng pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu ,thu thập tài liệu .
Phân tích, tổng kết kinh nghiệm .
Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng
dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học ia1

Phần ii:nội dung đề tài
i. cơ sở lí luận
1. Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Rèn cho học sinh những kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình chứa

dấu giá trị tuyệt đối
- Rèn cho học sinh các thao tác t duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tợng
hoá, tơng tự hoá
- Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu
dễ dàng các môn học khác ở trờng THCS, mở rộng khả năng áp dụng kiến
thức vào thực tế.
- Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo,
chủ động trong giải toán.
2. Các kĩ năng, kiến thức khi học giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số.
Trang 2


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
- Giá trị tuyệt đối của một số. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức
- Giải bất phơng trình bậc nhất một ẩn
- Giải phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình đa đợc về dạng bậc nhất
một ẩn.
ii. các kiến thức cơ bản về GIá TRị TUYệT Đối
Trớc khi đa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phơng pháp giải thì
giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ đợc định nghĩa về giá trị tuyệt đối,
từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.
1. Định nghĩa
a, Định nghĩa 1[ lớp 6] :
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc 0 trên trục số [ hình-a
1].
0
a
-a


Hình 1

a

Ví dụ 1:
3

a =3 a=
3
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm
trên trục số [ hình 2]
-3

0

3

Hình 2
a = b

b
b
a= ; a = b a=
b
b
b > 0

Tổng quát:
Ví dụ 2:


a 3 nếu a 0

a 3

0 a 3
-3 a 3



-a 3 nếu a < 0

-3 a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [ 3;3] và trên
trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [ 3;3] [ hình 3]
-3

Ví dụ 3:

0

Hình 3
Trang 3

3


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
a 3 nếu a 0

a 3

a 3 nếu a 0
3 a hoặc a 3



-a 3 nếu a < 0

a -3 v nếu a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn [- ; 3]
và [3; + ] và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng với các
khoảng số đó. [hình 4]
-3

0

3

Hình 4
a b
Tổng quát: a b
a b
b, Định nghĩa 2 [ lớp 7-9]:
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:
a nếu a 0
a =
-a nếu a < 0
Ví dụ1:

15 = 15
32 = 32
0 =0
1 = 1
17 = 17
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A[x], kí hiệu
A[x] là:
A[x] nếu A[x] 0
A[x] =
-A[x] nếu A[x] < 0
Ví dụ 2:

2x - 1 nếu 2x- 1 0
2x 1 =

2x - 1 nếu x

1
2

=
-[2x - 1] nếu 2x - 1 < 0

2. Các tính chất
2.1. Tính chất 1:

1 - 2x nếu x 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
a.b = a.b = a . b a.b = a . b [2]
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
a.b = a.b = [ a][b] = a . b a.b = a . b

[3]

a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0

a.b = a.b = a.[b] = a . b a.b = a . b [4]
Từ [1], [2], [3] và [4] đpcm.
2.9. Tính chất 9:
a
a
= [b 0]
b
b

Thật vậy: a = 0

a
a
a
=0 = 0
b
b
b

a > 0 và b > 0 a = a, b = b và

Trang 5

[1]

a
a a a
>0 = =
b
b b b


[2]


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
a
a a a a
>0 = =
=
b
b b b b

[3]

a
a
a
a
a
0 và b < 0 a = a, b = -b và
Từ [1], [2], [3] và [4] đpcm.


III. Các dạng cơ bản và phơng pháp giảI phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trớc tiên học sinh cần nắm chắc đợc các tính chất của giá trị tuyệt đối. Làm
các bài tập đơn giản với sự hớng dẫn của giáo viên. Sau đó làm các bài tập nâng cao
và bài tập đòi hỏi sự t duy của học sinh.
Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối [chủ yếu là định
nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức] để đa bài toán trên về bài toán trong
đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số
quen thuộc.
Xuất phát từ kiến thức trên ngời ta phát triển thành yêu cầu giải phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hớng dẫn cho
học sinh quan tâm tới 3 dạng phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Phơng trình: f[x] = k , với k là hằng số không âm.
Dạng 2: Phơng trình: f[x] = g[x]
Dạng 3: Phơng trình: f[x] = g[x] .
Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phơng pháp giải ta cần hớng dẫn học
sinh theo thứ tự cụ thể nh sau:
Bài toán 1: Giải phơng trình: f[x] = k , với k là hằng số không âm.
Phơng pháp giải:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f[x] xác định [nếu cần].
f[x] = k
Bớc 2: Khi đó f[x] = k
nghiệm x.
f[x] = k
Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Ví dụ1: Giải các phơng trình sau:

x +1
-2=0

x
2x 3 = 1
2x = 4
x = 2
a, ta có 2x 3 = 1


2x 3 = 1
2x = 2
x = 1
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b, Điều kiện xác định của phơng trình là x 0.
a, 2x 3 = 1

b,

Trang 6


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
x +1
x = 1
x =2
x + 1 = 2x
x = 1
x +1
=2




x = 1
x
x + 1 = 2x
3x = 1
x + 1 = 2

3
x
1
Vậy phơng trình có hai nghiệm x =
và x = 1.
3
Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
a, 2 x 3 = 5
b, 2 7 x = 12
c, 0,5 x = 3
d, 2 x =

1
4

Bài toán 2: Giải phơng trình: f[x] = g[x]
Phơng pháp giải:
Bớc 1: Đặt điều kiện để f[x] và g[x] xác định [nếu cần].
f[x] = g[x]
Bớc 2: Khi đó f[x] = g[x]
nghiệm x.
f[x]
=


g[x]

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
x2 x + 2
a, 2x + 3 = x 3
b,
c,
x =0.
x +1
Giải:
a, Biến đổi tơng đơng phơng trình:

2x + 3 = x 3
2x x = 3 3 x = 6
2x + 3 = x 3


2x
+
3
=

x
+
3
2x
+
x

=
3

3


x = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.
b, Điều kiện xác định của phơng trình là x 0.
Biến đổi tơng đơng phơng trình:
x2 x + 2
x2 x + 2
x =0
=x
x +1
x +1

x2 x + 2
x +1 = x
x 2 x + 2 = x[x + 1]
2x = 2
2
2
2
x =1
2x
=

2

vô
nghiệm
x

x
+
2
=

x[x
+
1]
x x + 2


x + 1 = x
Trang 7


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x 3m = x + 6 , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tơng đơng phơng trình:
2x 3m = x + 6
2x x = 3m + 6
x = 3m + 6
2x 3m = x + 6



2x 3m = x 6
2x + x = 3m 6
3x = 3m 6
x = 3m + 6

x = m 2
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m 2
Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
a, 2 x 1 = 2 x + 3
b, |x - 3,5| = |4,5 - x|
c, x 6 = 5 x + 9
d, 2 x = 3 + x
Bài toán 3: Giải phơng trình: f[x] = g[x]
Phơng pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1: [Phá dấu giá trị tuyệt đối] Thực hiện các bớc:
Ví dụBớc
4: Giải
phơng
. định [nếu cần].
+4 +
= 5xác
1: Đặt
điềutrình:
kiện đểx f[x]
và3x
g[x]
Bớc
Cách2:1:Xét

Xéthai
haitrờng
trờnghợp:
hợp:
-Trờng
hợp
1:
Nếu
f[x]
[1]
-Trờng hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4
[1]
Phơng trình có dạng: f[x] = g[x] => nghiệm x và kiểm1 tra điều kiện [1]
Phơng
x + nghiệm x và kiểm
[1]Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình.
-Trờng
hợphiện
2: Nếu
+4 1 x < 3 là nghiệm.
+Trờng hợp 3: Nếu x 3
Khi đó phơng trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 [t/m đk]
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 3
Bài tập củng cố:
Giải các phơng trình sau:
1]. 2 x 1 + 2 x + 1 = 4
2]. x 2 + x 3 = 4
3]. 2 x + 2 + 2 x 1 = 5

4]. x 2 1 + x = 1

5]. 4 x 1 2 x 3 + x 2 = 0
6]. x + 2 + x + x 2 = 4

Phần iii:
kết quả đạt đợc:
Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền
thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phơng pháp giải nêu trên tôi nhận thấy
đa số học sinh nắm vững dợc kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phơng
trình chứa đấu giá trị tuyệt đối. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phơng pháp giải đợc xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy
đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Đơng
nhiên hệ thống kiến thức trên chỉ dừng lại đối với đối tợng học sinh có học lực
trung bình và khá, còn đối với học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và
bổ sung các dạng toán phong phú hơn.

Phần iv: Kết luận
Nh vậy, từ chỗ học sinh còn lúng túng trong kiến thức và phơng pháp
giảI, thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống
Trang 12


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối ở mức cơ bản. Khi nắm vững kiến thức và phơng
pháp giải học sinh sẽ có đợc sự hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê trong
học tập từ đó nâng cao đợc chất lợng đại trà trong dạy học bộ môn Toán. Với
hệ thống kiến thức cơ bản đợc xây dựng và truyền thụ nh trên học sinh sẽ chủ
động để tiếp thu những kiến mới hơn trong chơng trình ở các lớp trên.

Có thể nói, trên đây là một số điều mà bản thân tôi đã rút đợc qua dạy
học, qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi từ đồng nghiệp. Tuy vậy

vẫn còn có những hạn chế nhất định do năng lực kinh nghiệm của bản thân.
Rất mong nhận đợc các ý kiến đóng góp của các thầy cô để đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Duy Minh, ngày 28/ 03 / 2011
Ngời làm đề tài

Vũ Thị Kim Quý

Trang 13


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS

Tài liệu tham khảo
1 Sách giáo khoa Toán 8

NXB Giáo Dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

2 Sách bài tập Toán 8 - Tập 2

NXB Giáo Dục

Tôn Thân
Nguyễn Huy Đoan

3 Sách giáo viên Toán 8


NXB Giáo Dục

4 Để học tốt Toán 8

NXBĐạihọc
quốc gia Hà Nội

Phan Đức Chính
Tôn Thân

5 Tài liệu bồi dỡng Toán 8

NXB Giáo Dục

Bùi Văn Tuyển

6 Chuyên đề nâng cao Toán 8.

NXB Giáo Dục

Vũ Dơng Thuỵ Nguyễn Ngọc Đạm

7 Các dạng toán và phơng pháp
giải toán 8 tập 2

NXB Giáo Dục

Tôn Thân
Vũ Hữu Bình

Nguyễn Vũ Thanh
Bùi Văn Tuyển

Hoàng Chúng

Bài soạn:

PHƯƠNG TRìNH ChứA DấU GIá TRị TUYệT Đối

I/ Mục tiêu:
Học sinh đợc củng cố định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số
Biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng ax và a + x
Biết giải một số phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng ax = cx + d và
dạng x + a = cx + d
II/ Chuẩn bị:
GV: Bảng phụ ghi bài tập
HS: Bảng nhóm. Ôn tập giá trị tuyệt đối của một số
Trang 14


Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
III/ Tiến trình dạy học:
1. ổn định: Kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ:
? Phát biểu định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số a
2
3

? Tìm 12 , , 0
? Cho biểu thức x 5 . Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức khi

x 5; khi x < 5
3. Bài mới:
Hoạt động của GV
*Gọi 1 HS nhắc lại định
nghĩa giá trị tuyệt đối của
một số thực a
Yêu cầu HS cho ví dụ

Hoạt động của HS
HS trả lời
VD:
5 = 5; 7 = 7;

GV: Mở rộng khái niệm
này thành giá trị tuyệt đối
của một biểu thức A[x], kí
hiệu A[x] là:
A[ x]; A[ x ] 0
A[ x ] =
A[ x]; A[ x ] < 0

*GV nêu VD1
? Khi x 5 , bỏ dấu giá trị
tuyệt đối ở biểu thức A ta sẽ
thu đợc biểu thức nào
? Thu gọn biểu thức đó
Gọi HS lên làm câu a
? Khi x>0, bỏ dấu giá trị
tuyệt đối của biểu thức B ta
đợc biểu thức nào

? Thu gọn biểu thức đó
Gọi HS lên làm câu b
Gọi HS nhận xét
Yêu cầu HS bỏ dấu giá trị
tuyệt đối và thu gọn biểu
thức A khi x 0 => 7 x = 7x
B = 2x + 3 + 7x = 9x + 3
HS:
Khi x x 5 = 5-x
A= 5-x + x +2 = 7
Khi x 7 x = -7x

B = 2x + 3 -7x = 3-5x

Nội dung
1. Nhắc lại về giá trị
tuyệt đối
a, a 0
a =
a, a < 0
A[ x]; A[ x ] 0
A[ x ] =
A[ x]; A[ x ] < 0

VD1: Bỏ dấu giá trị tuyệt
đối và rút gọn các biểu
thức:
a, A= x 5 +x+2 khi x 5
b, B =2x +3+ 7 x khi x>0
G:
a, Khi x 5 => x 5 = x-5
A = x-5 + x + 2 = 2x - 3
b, Khi x > 0 => 7 x = 7x
B = 2x + 3 + 7x = 9x + 3

?1:
Rút gọn các biểu thức
HS thảo luận, làm vào bảng a,C = 3x + 7x - 4 khi
nhóm
x0
a, Khi x 0 => 3x = - 3x
Trang 15



Đề tài nghiệp vụ s phạm: Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở THCS
chéo
*? Bỏ dấu giá trị tuyệt đối
của biểu thức sau 2 x 3
Hớng dẫn:
? Cần xét mấy trờng hợp

C = - 3x + 7x -4 = 4x -4
b, Khi x x 6 = 6 -x
D = 5 -4x + 6 - x = 11 -5x

? Giải 2 bất phong trình để
tìm nghiệm tơng ứng

HS: 2 trờng hợp: 2x -3 0
và 2x -3