Các dạng bài tập biến đổi laplace của tín hiệu năm 2024

Nội dung Text: Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất

1. Tín Hiệu và Hệ Thống Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất Đỗ Tú Anh [email protected] Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
2. Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 2 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
3. Tổ chức 3 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
4. Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 4 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
5. Pierre Simon de Laplace (1749-1827) 5 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
6. Tại sao cần phép biến đổi Laplace? Ta có Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó. Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức s = σ + jω 6 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7. Định nghĩa phép biến đổi Laplace Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là Giải thích bằng phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực e−σ t 7 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
8. Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 8 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
9. Biến đổi Laplace: Ví dụ 1 Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả chỉ tồn tại khi a > 0 Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị σ > -a 9 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
10. Biến đổi Laplace: Ví dụ 1 Do s = σ+jω, ta viết lại thành Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω). Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω). Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier 10 10 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
11. Biến đổi Laplace: Ví dụ 2 Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả Ảnh Laplace của nó là Miền hội tụ Biến đổi Laplace bao gồm biến đổi Fourier 11 11 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
12. Sơ đồ điểm không/điểm cực Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là B( s) X ( s) = với s thuộc miền hội tụ (MHT) , A( s ) trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace. Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT. Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài MHT. 12 12 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
13. Biến đổi Laplace: Ví dụ 3 Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả có ảnh Laplace là Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức Điểm c ực Điểm không 13 13 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
14. Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 14 14 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
15. Các tính chất của miền hội tụ Với tín hiệu một phía phải x(t ) x(t ) = 0, t > t1. Re {s} > σ max , MHT: t trong đó σmax là phần thực lớn nhất t1 0 của các điểm cực Với tín hiệu một phía trái x(t ) x(t ) = 0, t < t2 . Re {s} < σ min , MHT: t t2 0 trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất của các điểm cực 15 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
16. Các tính chất của miền hội tụ Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là một phía trái x(t ) x(t ) = 0, t < t1 ∪ t > t2 . MHT: toàn bộ mặt phẳng s t t1 0 t2 Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên) x(t ) σ 1 < Re {s} < σ 2 , MHT: trong đó σ1 và σ2 là các phần thực t của (ít nhất) hai điểm cực 0 16 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
17. Miền hội tụ: Ví dụ x(t ) = e− at u (t ) −dfssdfdsfs sdfssdf s e at u (−t ) Xét tín hiệu hai phía x2 (t ) x1 (t ) Từ các ví dụ trên ta có 1 1 Re {s} > − a Re {s} < a jω X1 ( s) = X 2 ( s) = và , , s+a s−a Do đó 1 1 X ( s) = + , − a < Re < a, s+a s−a × ×a σ 2s −a =2 − a < Re < a, s −a 2 x(t ) x(t ) (a < 0) (a > 0) t t 0 0 17 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
18. Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.1.1 Phép biến đổi Laplace 6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ 6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 18 18 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
19. Biến đổi Laplace ngược Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi Fourier ngược. ∞ ⎡ x(t )e−σ t ⎤e− jωt dt , ∫ X (σ + jω ) = Do ⎣ ⎦ −∞ nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là ∞ 1 x(t )e−σ t X (σ + jω )e jωt d ω ∫ = 2π −∞ Nhân cả hai vế với eσt, ta có ∞ 1 X (σ + jω )e(σ + jω )t d ω ∫ x(t ) = 2π −∞ nằm trong MHT Thay s = σ+jω và ds=jdω, σ + j∞ 1 ∫ x(t ) = X ( s )e st ds 2π j σ − j∞ 19 19 EE3000-Tín hiệu và hệ thống
20. Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ Cho hàm phân thức bậc 2 được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản Có 3 khả năng của MHT và 20 EE3000-Tín hiệu và hệ thống