18:36:4418/07/2021
Một số dạng bài tập cơ bản như tìm cực trị [cực đại, cực tiểu] áp dụng quy tắc I hoặc quy tắc II [với một số bài toán chúng ta có thể áp dụng bất kỳ 1 trong 2 cách để tìm cực trị]; hay các bài toán chứng minh điểm cực đại, cực tiểu; tìm tham số m để hàm cực đại hay cực tiểu tại 1 điểm,... sẽ được giới thiệu trong bài viết này.
• Lý thuyết Cực trị của hàm số và 2 quy tắc tìm cực trị
* Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a] y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10
b] y = x4 + 2x2 - 3
c]
d] y = x3[1 - x]2
e]
> Lời giải:
a] y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10
- TXĐ: D = R
- Kết luận :
Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.
b] y = x4 + 2x2 - 3
- TXĐ: D = R
y'= 4x3 + 4x = 4x[x2 + 1] = 0;
y' = 0 ⇔ 4x[x2 + 1] = 0 ⇔ x = 0
- Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3
Hàm số không có điểm cực đại.
c]
- TXĐ: D = R\{0}
;
- Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.
d] y = x3[1 - x]2
- Ta có: y'= [x3]’.[1 – x]2 + x3.[[1 – x]2]’
= 3x2.[1 – x]2 + x3.2[1 – x].[1 – x]’
= 3x2[1 – x]2 - 2x3[1 – x]
= x2.[1 – x][3 – 5x]
y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5
- Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3/5 ; yCĐ = 108/3125
Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1. yCT = 0;
> Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.
e]
- Ta có: TXĐ: D = R.
- Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2, yCT = [√3]/2.
* Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12: Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a] y = x4 - 2x2 + 1;
b] y = sin2x – x
c] y = sinx + cosx;
d] y = x5 - x3 - 2x + 1
> Lời giải:
a] y = x4 - 2x2 + 1;
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 4x3 - 4x
y' = 0 ⇔ 4x[x2 – 1] = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.
- Lại có y" = 12x2 - 4
y"[0] = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
y"[1] = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
y"[-1] = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.
b] y = sin2x – x
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 2cos2x – 1;
y' = 0 ⇔ 2cos2x - 1 = 0 ⇔ cos2x = 1/2
- Lại có: y'' = -4sin2x
là các điểm cực đại của hàm số.
là các điểm cực tiểu của hàm số.
c] y = sinx + cosx;
- TXĐ: D = R
- Ta có: y' = cosx - sinx
y' = 0 ⇔ cosx - sinx = 0
- Lại có:
là các điểm cực đại của hàm số.
là các điểm cực tiểu của hàm số.
d] y = x5 - x3 - 2x + 1
- TXĐ: D = R
- Ta có: y'= 5x4 - 3x2 - 2
y' = 0 ⇔ 5x4 – 3x2 – 2 = 0
⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.
- Lại có: y" = 20x3 - 6x
y"[-1] = -20 + 6 = -14 < 0
⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.
y"[1] = 20 – 6 = 14 > 0
⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
* Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.
> Lời giải:
- Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.
- Chứng minh hàm số y = f[x] = √|x| không có đạo hàm tại x = 0.
- Ta có:
⇒ Nên không tồn tại giới hạn:
⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 0.
Dễ thấy với mọi x ∈ R và f[0] = 0 nên x = 0 chính là điểm cực tiểu của hàm số.
* Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số:
y = x3 - mx2 - 2x + 1
luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.
> Lời giải:
- TXĐ: D = R
- Ta có: y' = 3x2 - 2mx – 2
y' = 0 ⇔ 3x2 – 2mx – 2 = 0
- Lại có: y'' = 6x – 2m. nên:
là một điểm cực đại của hàm số.
là một điểm cực tiểu của hàm số.
- Vậy với mọi giá trị tham số của m thì hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
- Nhận xét: Thực ra, với yêu cầu của bài toán này thì chúng ta chỉ cần tính Δ' = m2 - 6 > 0 với mọi giá trị của m, nên y' luôn có 2 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi qua các nghiệm đó. [hàm đa thức bậc 3 có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt].
* Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12: Tìm a và b để các cực trị của hàm số:
đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.
> Lời giải:
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 5a2x2 + 4ax – 9.
⇒ y'' = 10a2x + 4a.
• Nếu a = 0 thì y' = -9 < 0 với ∀ x ∈ R
⇒ Hàm số không có cực trị [loại]
• Nếu a ≠ 0.
y' = 0 ⇔ 5a2x2 + 4ax – 9 = 0
⇔ 5[ax]2 + 4[ax] – 9 = 0
Khi đó, ta có:
¤ TH1: x = 1/a là điểm cực đại [điểm này phải trùng x0 bài cho], khi đó
khi đó:
⇒ x = [-9]/5a là điểm cực tiểu, khi đó:
- Các cực trị của hàm số đều dương:
¤ TH2: x =[-9]/5a là điểm cực đại [điểm này phải trùng x0 bài cho], khi đó:
khi đó:
⇒ x = 1/a là điểm cực tiểu, khi đó
- Các cực trị của hàm số đều dương:
Kết luận: hoặc là các giá trị cần tìm.
* Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 2.
> Lời giải:
- TXĐ: D = R{-m}
- Ta có:
- Lại có:
Hàm số đạt cực đại tại
- Có:
[1]
- Có
[2]
Kết hợp [1] và [2] ta suy ra m = -3 [thỏa].
Vậy m=-3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Trên đây là bài viết hướng dẫn giải một số bài tập về tìm cực trị [cực đại, cực tiểu] của hàm số với một số dạng vận dụng tìm cực trị với quy tắc I hoặc quy tắc II hay các bài toán chứng minh điểm cực đại, cực tiểu; tìm tham số m để hàm cực đại hay cực tiểu tại 1 điểm,... hy vọng các em hiểu rõ và vận dụng tốt vào các bài tập tìm cực trị.