- LG a
- LG b
Cho phương trình \[{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.\]
LG a
Chứng minh rằng \[x = {\pi \over 2} + k\pi \] nghiệm đúng phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\sin \left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^k}\]
[nghĩa là bằng 1 nếu k chẵn, bằng -1 nếu k lẻ]
Thay \[x = {\pi \over 2} + k\pi \]vào phương trình ta được :
\[\begin{array}{l}
\frac{{{{\sin }^3}\left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right] + {{\cos }^3}\left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right]}}{{2\cos \left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right] - \sin \left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right]}} = \cos \left[ {2\left[ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right]} \right]\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^{3k}} + 0}}{{2.0 - {{\left[ { - 1} \right]}^k}}} = \cos \left[ {\pi + k2\pi } \right]\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^{3k}}}}{{ - {{\left[ { - 1} \right]}^k}}} = \cos \pi \\
\Leftrightarrow - {\left[ { - 1} \right]^{2k}} = - 1\\
\Leftrightarrow - 1 = - 1
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 2} + k\pi \]là nghiệm phương trình
LG b
Giải phương trình bằng cách đặt \[\tan x = t\] [khi \[x \ne {\pi \over 2} + k\pi \] ]
Lời giải chi tiết:
* \[x = {\pi \over 2} + k\pi \]là nghiệm phương trình.
* Với \[x \ne {\pi \over 2} + k\pi \]chia tử và mẫu của vế trái cho \[{\cos ^3}x\] ta được :
\[{{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] - \tan x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\]
Đặt \[t = \tan x\] ta được :
\[\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left[ {2 - t} \right]\left[ {1 + {t^2}} \right]}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left[ {{t^2} - 1} \right]\left[ {t - 2} \right] \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\[x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = - {\pi \over 4} + k\pi ,\] \[x = \alpha + k\pi \,\left[ {k \in\mathbb Z} \right]\]