Coó bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn năm 2024
|
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $( - 2021;2021)$ để hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1? Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(( - 2021;2021)\) để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\) đồng biến trên khoảng \((1;2)?\)
Đáp án D Chọn D Ta có \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx.\) Để hàm số đồng biến trên khoàng \((1;2)\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1;2} \right).\) Hay \({x^2} - m \ge 0,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow m \le {x^2},\forall x \in \left( {1;2} \right).\) Suy ra \(m \le \mathop {Max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {x^2} = 4.\) Mặt khác \(m \in \left( { - 2021;2021} \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;4} \right\}.\) Vậy có 2024 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán. Để hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định khi \(y' > 0 \Leftrightarrow - m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 2\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có: \(m \in \left[ { - 2020;2} \right),\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...;0;1} \right\}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc khoảng $\left( { - 1000;1000} \right)$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\? Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1000;1000} \right)\) để hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?
- Chia từng trường hợp dấu của đạo hàm, trong mỗi trường hợp xác định GTLN của hàm số trên \(\left[ {1;3} \right]\) và giải bất phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y > 0\). Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - m - m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\). Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì \(m \notin \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 20;1} \right) \cup \left( {3;20} \right]\) (*). TH1: \( - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\), khi đó \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 3}} = 1\) là hàm hằng nên không có giá trị lớn nhất. TH2: \( - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\), khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 9 < m < 3\). Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 9 < m < - 3\). TH3: \( - 2m - 6 < 0 \Leftrightarrow m > - 3\), khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\). Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 3 < m < 1\). Kết hợp 2 TH ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Kết hợp điều kiện (*) ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\). |
