Đề bài
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác \[ABC\] là đường vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chiều thuận:Lấy một điểm \[M\] bất kì trong không gian sao cho \[MA = MB = MC\]. Từ \[M\] kẻ \[MO\] vuông góc với \[[ABC]\]. Chứng minh \[OA=OB=OC\].
Chiều ngược: Lấy một điểm \[M d\], nối \[MA, MB, MC\], cho \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\], chứng minh \[M'A=M'B=M'C\].
Lời giải chi tiết
Lấy một điểm \[M\] bất kì trong không gian sao cho \[MA = MB = MC\]. Từ \[M\] kẻ \[MO\] vuông góc với \[[ABC]\]. Các tam giác vuông \[MOA\], \[MOB\], \[MOC\] bằng nhau, suy ra \[OA = OB = OC\].
Do đó \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Vậy các điểm \[M\] cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] nằm trên đường thẳng \[d\] đi qua tâm \[O\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\].
Ngược lại, lấy một điểm \[M d\], nối \[MA, MB, MC\],
Do \[MO\] chung và \[OA = OB = OC\] nên các tam giác vuông \[MOA, MOB, MOC\] bằng nhau, suy ra \[MA = MB = MC\],
Tức là điểm \[M\] cách đều ba đỉnh \[A, B, C\] của tam giác \[ABC\].
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].