Đề bài
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]có cạnh bằng \[a\].
a] Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \[BD'\] và \[B'C\].
b]Tính khoảng cách của hai đường thẳng \[BD'\]và \[B'C\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
a] \[AB [BCCB] AB BC\]
\[BCCB\] là hình vuông có \[BC BC\]
\[ BC [ABCD]\]
Trong mặt phẳng \[[ABCD]\], kẻ \[IK BD\].
Vì \[BC [ABCD] BC IK\]
Kết hợp với \[IK BD \] \[ IK\] là đường vuông góc chung của \[BC\] và \[BD\]
b] Ta có: \[d\left[ {B'C,BD'} \right] = IK\]
\[C'B = \sqrt {C{B^2} + B'{B^2}} \] \[= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
\[D'B = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} \] \[ = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \]
Xét \[BIK\] và \[BDC\] có:
B chung
\[\widehat {BC'D'} = \widehat {BKI} = {90^0}\]
Suy ra \[BIK \backsim BDC\] [g-g]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {{IK} \over {D'C'}} = {{BI} \over {B{\rm{D}}'}} \cr
& \Rightarrow IK = {{BI.D'C'} \over {B{\rm{D}}'}} \cr} \].
Mà \[BI = \dfrac{1}{2}BC' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\] nên:
\[IK = \dfrac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\]
Vậy\[d\left[ {B'C,BD'} \right] = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\]
loigiaihay.com