Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[[O;R]\] có hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] vuông góc với nhau. Chứng minh rằng\[A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Trên một đường tròn hai dây song song chắn hai cung bằng nhau.
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Kẻ đường kính \[BB'\]. Nối \[B'A,B'D,B'C\].
\[ \widehat {B'DB} = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
\[ \Rightarrow DB' \bot BD\]
Mặt khác \[AC\bot BD\] [gt]
\[ \Rightarrow DB'//AC\]
Vì \[AC//DB'\] nên \[sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\]
\[sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\]
\[sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\]
Mà\[sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\]
\[ \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\].
\[ \Rightarrow AB' = CD\] [các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau] [1]
Ta có \[\widehat {BAB'} = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[BAB'\] có:
\[A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:\[A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\]
Hay\[A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\].