Đề bài
a] Cho hàm số \[y = \dfrac{{3 - x}}{{x + 1}}\] có đồ thị \[\left[ H \right].\]
Chỉ ra một phép biến hình biến [H] thành [H] có tiệm cận ngang \[y = 2\] và tiệm cận đứng \[x = 2\].
b] Lấy đối xứng [H] qua gốc [O], ta được hình [H]. Viết phương trình của [H].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nhận xét cách tịnh tiến đồ thị dựa vào các tịnh tiến các đường tiệm cận. Từ đó viết công thức hàm số mới.
Lời giải chi tiết
a] Từ đồ thị hàm số [H], để có hình [H] nhận \[y = 2\] là tiệm cận ngang và \[x = 2\] là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị [H] song song với trục \[Oy\] lên trên \[3\] đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục \[Ox\] về bên phải \[3\] đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:
+ Tịnh tiến lên trên \[3\] đơn vị ta được: \[y = f[x] = \dfrac{{3 - x}}{{x + 1}} + 3\] \[ = \dfrac{{3 - x + 3x + 3}}{{x + 1}} = \dfrac{{2x + 6}}{{x + 1}}\];
+ Tịnh tiến sang phải \[3\] đơn vị ta được: \[y = g[x] = \dfrac{{2[x - 3] + 6}}{{x - 3 + 1}} = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\,\,\left[ {H'} \right]\]
b] Lấy đối xứng hình [H] qua gốc O, ta được hình [H].
Lấy điểm M'[x;y] thuộc [H'], khi đó M'' là ảnh qua M qua phép đối xứng tâm O nên
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_{M''}} = - x\\
{y_{M''}} = - y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - {x_{M''}}\\
y = - {y_{M''}}
\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow M\left[ { - {x_{M''}}; - {y_{M''}}} \right]\]
\[M\in [H']\] nên
\[ - {y_{M''}} = \frac{{2\left[ { - {x_{M''}}} \right]}}{{ - {x_{M''}} - 2}}\] \[ \Leftrightarrow - {y_{M''}} = \frac{{ - 2{x_{M''}}}}{{ - \left[ {{x_{M''}} + 2} \right]}} \] \[\Leftrightarrow - {y_{M''}} = \frac{{2{x_{M''}}}}{{{x_{M''}} + 2}}\] \[ \Leftrightarrow {y_{M''}} = - \frac{{2{x_{M''}}}}{{{x_{M''}} + 2}}\]
Vậy M'' thuộc đồ thị hàm số [H''] \[y = - \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\]