Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại C có CA = CB = 10 cm, AB = 12 cm. Kẻ \[CM \bot AB[M \in AB].\]
a] Chứng minh rằng MA = MB.
b] Tính độ dài CM.
c] Kẻ \[MK \bot BC[K \in BC],MH \bot AC.\] Chứng minh rằng MK = MH.
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác AMC vuông tại M và tam giác BMC vuông tại M ta có:
AC = BC [tam giác ABC cân tại C]
\[\widehat {CAM} = \widehat {CBM}[\Delta ABC\] cân tại C]
Do đó: \[\Delta AMC = \Delta BMC\] [cạnh huyền - góc nhọn] => MA = MB.
b] Ta có: \[MA = MB = {{AB} \over 2} = {{12} \over 2} = 6[cm]\]
Tam giác AMC vuông tại M có: \[M{A^2} + M{C^2} = A{C^2}\] [định lí Pythagoare].
Do đó: \[{6^2} + M{C^2} = {10^2} \Rightarrow M{C^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64.\]
Mà MC > 0 nên \[MC = \sqrt {64} = 8[cm]\]
c] Xét tam giác AMH vuông tại H và tam giác MBK vuông tại K ta có:
AM = BM [chứng minh câu a]
\[\widehat {HAM} = \widehat {KBM}[\Delta ABC\] cân tại C]
Do đó: \[\Delta AMH = \Delta BMK\] [cạnh huyền - góc nhọn] => MH = MK.
Vậy MK = MH.