Đề bài - bài 35 trang 129 sgk toán 8 tập 1

Đề bài

Tính diện tích hình thoi có cạnh dài \(6\,cm\) và một trong các góc của nó có số đo là\(60^{\circ}\)

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi \(ABCD\) có cạnh \(6cm\) và \(\widehat {BAD}=60^0\). Kẻ \(BH\bot AD\)

Công thức tổng quát tính độ dài đường cao BH:

Ta có \(ABD\) là tam giác đều (vì tam giác \(ABD\) cân có \(\widehat{A}\)=\(60^{\circ}\) )

Tam giác \(ABD\) đều nên đường cao BH cũng là đường trung tuyến hay \(H\) là trung điểm của \(AD\)

Suy ra \(AH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{AB}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABH\) có:

\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

\(= A{B^2}-\left ( \dfrac{AB}{2} \right )^{2}\)

\(= A{B^2}-\dfrac{AB^{2}}{4} = \dfrac{3AB^{2}}{4}\).

\(\Rightarrow BH = \dfrac{AB.\sqrt{3}}2\) (cm)

Tổng quát: Đường cao tam giác đều cạnh \(a\) có độ dài là: \({h_a}=\dfrac{a\sqrt{3}}2\)

Áp dụng vào bài với cạnh \(a=6cm\) thì\( BH = \dfrac{a.\sqrt{3}}2 = \dfrac{6\sqrt{3}}2 =3\sqrt3\) (cm)

Tính diện tích hình thoi ABCD.

Cách 1:

Ta có:\( BH =3\sqrt3\) (cm) (theo trên)

\({S_{ABCD}}= BH. AD = 3\sqrt 3. 6 \)\(\,= 18\sqrt 3\;(c{m^2})\)

Cách 2:

Vì \(ABD\) là tam giác đều nên \(BD = AB = 6\,cm\), \(AI\) là đường cao đồng thời là trung tuyến tam giác nên \(AI = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} =3\sqrt3\) (cm)

\(\Rightarrow AC =2AI= 6\sqrt 3\) (cm)

\({S_{ABCD}}=\dfrac{1}{2} BD. AC = \dfrac{1}{2} 6.6\sqrt 3 \)\(\,=18\sqrt 3\; (c{m^2})\)