Vì \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]và \[{v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin, nên \[\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin. [2]
Đề bài
Cho hai dãy số[un]và [vn]. Chứng minh rằng nếu \[\lim {v_n} = 0\]và \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]với mọinthì \[\lim {u_n} = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xem lại định nghĩa dãy số có giới hạn \[0\]tại đây.
Lời giải chi tiết
\[\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi [1]
Vì \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]và \[{v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin, nên \[\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin. [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\left| {{u_n}} \right|\]cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim {u_n} = 0\]