Đề bài
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn \[2z - \left[ {3 + 4i} \right] = 5 - 2i\]. Mô đun của z bằng bao nhiêu ?
A. \[\sqrt {15} \]. B. 5
C. \[\sqrt {17} \] D. \[\sqrt {29} \].
Câu 2. Cho số phức \[z = {\left[ {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right]^{2022}}\]. Tìm phát biểu đúng .
A. z là số thuần ảo.
B. z có phần thực âm.
C. z là số thực.
D. z có phần thực dương.
Câu 3. Trong C, cho phương trình bậc hai \[a{z^2} + bz + c = 0\,\,[*]\,\,[a \ne 0]\]. Gọi \[\Delta = {b^2} - 4ac\]. Ta xét các mệnh đề:
+ Nếu \[\Delta \] là số thực âm thì phương trình [*] vô nghiệm.
+ Nếu \[\Delta \ne 0\] thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.
+ Nếu \[\Delta = 0\] thì phương trình có một nghiệm kép.
Trong các nệnh đề trên:
A. Cả ba mệnh đề đều đúng .
B. Có một mệnh đề đúng.
C. Không mệnh đề nào đúng .
D. Có hai mệnh đề đúng.
Câu 4. Số phức nghịch đảo của số phức \[z = 1 - \sqrt 3 i\] là:
A. \[\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\].
B. \[1 + \sqrt 3 i\].
C. \[\dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\].
D. \[ - 1 + \sqrt 3 i\].
Câu 5. Biết nghịch đảo của số phức z là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng
A. \[|z| = 2\]
B. \[|z| = 1\].
C. z là số thực.
D. z là số thuần ảo.
Câu 6. Cho số phức \[z = a + bi\]. Tìm mệnh đề đúng.
A. \[z - \overline z = 2a\].
B. \[z + \overline z = 2bi\].
C. \[|{z^2}| = |z{|^2}\].
D. \[z.\overline z = {a^2} + {b^2}\].
Câu 7. Thu gọn số phức \[i\left[ {2 - i} \right]\left[ {3 + i} \right]\] ta được:
A. 6.
B. 2 + 5i.
C. 1 + 7i.
D. 7i.
Câu 8. Gọi \[{z_1}\,,\,{z_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[{z^2} - 2z + 2 = 0\]. Tính giá trị của \[P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right|\].
A. P = 1
B. P = 4.
C. P = 0.
D. P = \[\sqrt 2 \].
Câu 9. Cho số phức z = 2 3i . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3i.
B. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3.
C. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3i.
D. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3.
Câu 10. Tìm b, c \[ \in R\] để phương trình \[2{z^2} - bz + c = 0\] có hai nghiệm thuần ảo.
A. \[\left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c = 0\end{array} \right.\].
B. \[\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c < 2\end{array} \right.\].
C. \[\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c > - 2\end{array} \right.\].
D. \[\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c > 0\end{array} \right.\].
Câu 11. Hai số phức \[z = a + bi,\,\,z' = a + b'i\] bằng nhau khi:
A. \[a = b'\].
B. a = b .
C. \[b = b'\].
D. a = - b.
Câu 12. Số phức \[z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\] bằng:
A. \[\dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\].
B. \[\dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\].
C. \[ - \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\].
D. \[ - \dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\].
Câu 13. Cho hai nghiệm \[{z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \,,\,\,{z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \]. Phương trình bậc hai có nghiệm là hai nghiệm trên là:
A. \[{z^2} + 3\sqrt 2 z + 5 = 0\].
B. \[{z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\].
C. \[{z^2} - 2\sqrt 3 z + 5 = 0\].
D. \[{z^2} + 5z + 2\sqrt {3 = 0} \].
Câu 14. Cho số phức thỏa mãn điều kiện \[|z - 2 + 2i| = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của \[|z|\].
A. \[\max |z| = 2\sqrt 2 + 1\].
B. \[\max |z| = 2\sqrt 2 \].
C. \[\max |z| = 2\sqrt 2 + 2\]
D. \[\max |z| = 2\sqrt 2 - 1\].
Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức \[z = {\left[ {1 + \sqrt 3 i} \right]^2}\] là:
A. 1 và 3.
B. 1 và 3 .
C. 2 và \[2\sqrt 3 \].
D. 2 và \[ - 2\sqrt 3 \].
Câu 16. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x 4y 3 =0, \[|z|\] nhỏ nhất bằng:
A. \[\dfrac{1}{5}\] B. \[\dfrac{4}{5}\]
C.\[\dfrac{2}{5}\] D. \[\dfrac{3}{5}\].
Câu 17. Mô đun của số phức z thỏa mãn \[\overline z = 8 - 6i\] là:
A. 2 B. 10
C. 14 D. \[2\sqrt 7 \].
Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \[|z| = 3\] là:
A. Hai đường thẳng .
B. Đường tròn bán kính bằng 3.
C. Đường tròn bán kính bằng 9.
D. Hình tròn bán kính bằng 3.
Câu 19. Cho \[z = r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.
A. r là acgumen của z.
B. r là mô đun của z.
C. \[\cos \varphi \] là acgumen của z.
D. \[\sin \varphi \] là acgumen của z.
Câu 20. Tích của hai số phức \[{z_1} = 3 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\] là;
A. 6 6i .
B. 12 + 12i.
C. 12 5i.
D. 12 + 5i.
Câu 21. Số phức z có mô đun r = 3 và acgumen \[\varphi = \pi \] thì có dạng lượng giác là:
A. \[z = 3\left[ {\cos 2\pi + i\sin 2\pi } \right]\].
B. \[z = 3\left[ {\cos \left[ { - \pi } \right] + i\sin \left[ { - \pi } \right]} \right]\].
C. \[z = 3\left[ {\sin \pi + i\cos \pi } \right]\].
D. \[z = 3\left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}\pi + i\cos 3\pi } \right]\].
Câu 22. Phương trình \[{z^2} + 4z + 13 = 0\]có các nghiệm là;
A. \[2 \pm 3i\].
B. \[4 \pm 6i\].
C. \[ - 4 \pm 6i\].
D. \[ - 2 \pm 3i\]
Câu 23. Gọi \[\varphi \] là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \[M\left[ {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\]nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?
A. \[\dfrac{\pi }{2}\] B. \[\dfrac{\pi }{3}\]
C. \[\dfrac{\pi }{4}\] D. \[\dfrac{\pi }{6}\].
Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 3 - 4i.
A. M [ 3 ; - 4]. B. M [3 ; 4].
C. M [ -3 ; 4]. D. M [-4 ; 3].
Câu 25. Cho số phức z = 6 + 8i. Giá trị của \[S = 2|z| - 1\] bằng bao nhiêu ?
A. S = 10. B. S = 19.
C. S = 11. D. S = 15.
Lời giải chi tiết
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
C |
C |
D |
C |
B |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
D |
C |
A |
D |
D |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
C |
A |
B |
A |
C |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
D |
B |
B |
B |
C |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
B |
D |
D |
A |
B |
Lời giải chi tiết
Câu 1: C
\[\begin{array}{l}2z - \left[ {3 + 4i} \right] = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow 2z = 5 - 2i + 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2z = 8 + 2i\\ \Leftrightarrow z = 4 + i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + 1} = \sqrt {17} \end{array}\]
Câu 2: C
\[\begin{array}{l}z = {\left[ {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right]^{2022}}\\\;\; = {\left[ {\dfrac{{\left[ {1 + 2i} \right]\left[ {2 + i} \right]}}{{{2^2} - {i^2}}}} \right]^{2022}}\\\,\,\, = {\left[ {\dfrac{{2 + 5i + 2{i^2}}}{5}} \right]^{2022}}\\\;\; = {i^{2022}} = {\left[ {{i^2}} \right]^{1011}}\\\,\,\, = {\left[ { - 1} \right]^{1011}} = - 1\end{array}\]
Câu 3: D
Câu 4:C
\[z = 1 - i\sqrt 3 \]
Số phức liên hợp của z là \[\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 - i\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 - 3{i^2}}} \]\[\;= \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\]
Câu 5: B
Đặt z = a + bi \[a,b \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{z} = \overline z \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + bi}} = a - bi\\ \Rightarrow 1 = \left[ {a + bi} \right]\left[ {a - bi} \right]\\ \Leftrightarrow 1 = {a^2} - {b^2}{i^2}\\ \Rightarrow 1 = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow 1 = \left| z \right|\end{array}\]
Câu 6: D
Đặt z = a + bi \[a,b \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}z - \overline z = a + bi - \left[ {a - bi} \right] = 2bi\\z + \overline z = a + bi + \left[ {a - bi} \right] = 2a\\\left| {{z^2}} \right| = \left| {{{\left[ {a + bi} \right]}^2}} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {{a^2} - {b^2}} \right]}^2} + 4{a^2}{b^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}^2}} = {a^2} + {b^2}\\z\overline z = [a + bi]\left[ {a - bi} \right]\\\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2}\end{array}\]
Câu 7: C
\[i[2 - i][3 + i] = i\left[ {6 - i - {i^2}} \right] \]\[\,= i\left[ {7 - i} \right] = 1 + 7i\]
Câu 8: A
\[\]\[\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{z^2} - 2z + 1} \right] + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {z - 1} \right]^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {z - 1} \right]^2} = - 1\\ \Rightarrow {\left[ {z - 1} \right]^2} = {i^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = i\\z - 1 = - i\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\end{array}\]
Có \[\begin{array}{l}P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 + i}} + \dfrac{1}{{1 - i}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{{1 - i + 1 + i}}{{\left[ {1 + i} \right]\left[ {1 - i} \right]}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 - {i^2}}}} \right| = 1\end{array}\]
Câu 9: D
Câu 10: D
Để pt \[2{z^2} - bz + c = 0\]có hai nghiệm thuần ảo
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 4.2.c < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 8c < 0\end{array}\]
Câu 11: C
Câu 12:A
\[\begin{array}{l}z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left[ {3 + 4i} \right]\left[ {2 - 3i} \right] + \left[ {5 - 2i} \right]\left[ {2 + 3i} \right]}}{{4 - 9{i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{6 - i - 12{i^2} + 10 + 11i - 6{i^2}}}{{13}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\end{array}\]
Câu 13: B
PT bậc hai có 2 nghiệm \[{z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 ;{z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \]:
\[\begin{array}{l}\left[ {z - \left[ { - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {z - \left[ { - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right]} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 3 - 2{i^2} = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\end{array}\]
Câu 14: A
Đặt z = x +yi M [x, y]
\[\begin{array}{l}\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + yi - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {\left[ {x - 2} \right] + \left[ {y + 2} \right]i} \right| = 1\\ \Rightarrow \sqrt {{{[x - 2]}^2} + {{[y + 2]}^2}} = 1\end{array}\]
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I[2,-2], bán kính r=1
Ta có \[\left| z \right| = \left| {x = yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]
Lấy H[ 0, 0] và M[ x, y] thì \[HM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn
Với H[ 0, 0] và I[ 2, -2] nên \[\overrightarrow {HI} = [2, - 2]\]
Phương trình đường thẳng HI:
\[[1]\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\]
Do HI giao với đường tròn nên ta thay [1] vào pt đường tròn, ta được:
\[\begin{array}{l}{\left[ {2t - 2} \right]^2} + {\left[ { - 2t + 2} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow 8{\left[ {t - 1} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow {[t - 1]^2} = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\t - 1 = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \\t = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \end{array} \right.\end{array}\]
\[ \Rightarrow {M_1}\left[ {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\] \[\Rightarrow H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\]
\[\Rightarrow {M_2}\left[ {2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \] \[\Rightarrow H{M_2} = 2\sqrt 2 - 1\]
\[ \Rightarrow {\left| z \right|_{{\rm{max}}}} = H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\] với \[{M_1}\left[ {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\]
Câu 15: C
\[z = {\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]^2} = 1 + 2\sqrt 3 i + 3{i^2}\]\[\, = - 2 + 2\sqrt 3 i\]
phần thực: -2 ; phần ảo: \[2\sqrt 3 \]
Câu 16: D
\[\left[ \Delta \right]:3x - 4y - 3 = 0\]
Đặt z= x+yi
\[\left| z \right| = \left| {x + yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]
L ấy O[0, 0].
Ta có |z|min khi kh oảng c ách t ừ O đ ến \[\left[ \Delta \right]\] l à ng ắn nh ất
\[{\left| z \right|_{\min }} = d[O',\Delta ] = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} \]\[\,= \dfrac{3}{5}\]
Câu 17: B
\[\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\]
Câu 18: B
Đặt z = x + yi
\[\begin{array}{l}\left| z \right| = 3 \Rightarrow \left| {x + yi} \right| = 3\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 3\end{array}\]
Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0[ 0, 0], bán kính bằng 3
Câu 19: B
Câu 20: C
Với z1= 3 + 2i , z2= 2 3i
\[{z_1}.{z_2} = \left[ {3 + 2i} \right]\left[ {2 - 3i} \right] \]\[\,= 6 - 5i - 6{i^2} = 12 - 5i\]
Câu 21: B
Câu 22: D
\[\begin{array}{l}{z^2} + 4z + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{z^2} + 4z + 4} \right] + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {z + 2} \right]^2} = - 9\\ \Rightarrow {\left[ {z + 2} \right]^2} = 9{i^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2 = 3i\\z + 2 = - 3i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 2 + 3i\\z = - 2 - 3i\end{array} \right.\end{array}\]
Câu 23: D
Câu 24: A
Câu 25: B